Содержание

Округление в геодезии | ГЕОДЕЗИСТ.RU

GeoDemon сказал(а):

stout сказал(а):

14 издание справочника Выгодского вышло в 1962г и ему уже было на тот момент 21 год.

Нажмите, чтобы раскрыть…

Видимо я учился в другой стране или другом измерении. Только что опросил всех своих сотрудников, оказалось что они тоже в моем измерении учились)))…
Раньше ведь не как сейчас, все по одной методике учились. Или я не прав?

Нажмите, чтобы раскрыть…

Давайте посмотрим, как может подвести «школьное» округление. Отвлечемся от геодезии и обратимся к глобальному потеплению.

Откроем прогноз погоды, например в Яндексе, за 10 дней (для корректности — можно по нескольким городам), и высчитаем сначала среднюю суточную температуру, а затем, из суточных — среднюю за декаду. Округляем до целых (с такой точностью нам даны значения)
Можно заметить, что если обе температуры четные либо нечетные, то и среднесуточная будет либо четной, либо нечетной, в общем — 50\50.

А если одна (ночная, например) четная, а другая (дневная) — нечетная, то округленное среднее будет всегда четным, причем при «школьном» округлении — 100% в большую сторону, а «по Гауссу» — 50\50 в большую либо меньшую. Таким образом, при «школьном» округлении возникает систематическая ошибка, направленная на увеличение абсолютных значений. Понятно, округляем всегда в большую сторону, вот и ползет величина все больше и больше.

И среднедекадная из «школьных» значений будет несколько выше средней из всех срочных температур, то есть неправильной. А среднедекадная из величин «до ближайшего четного» — вполне совпадет.

И в кадастровых делах округление по Гауссу будет оправданным. из тех же соображений. Ведь мы берем вычисленные координаты углов с заданной точностью, как данность, отбрасывая посчитанные программой тысячные и десятитысячные доли. И по этим округленным координатам уже вычисляем площадь и длины сторон. Другое дело, что «точное значение длины стороны участка» — в значительной степени величина умозрительная.

Так что разные способы округления вполне законны. Надо только знать, для решения каких задач какой применяется.
И я не верю, чтобы в вузах и техникумах этому не учили. Просто, такую скучную и абстрактную материю, как правила производства вычислений никто не запоминает. Мы же на счетах считать не будем, нам электронный друг подсчитает, так что зачем мозги фигней забивать.

Я и сам, будучи молодым специалистом, как-т о рьяно доказывал, что округлять надо в большую сторону, пока меня не ткнули носом в мой же институтский учебник геодезии, лежащий у меня на столе.

 

Округление чисел | МобиСтрой

Чтобы не оперировать с лишними цифрами, затрудняющими вычисления, но не характеризующими требуемую точность, отдельные числовые значения исходных данных следует округлять. Правила округления одинаковы для целых и дробных чисел.

Округление числа представляет собой отбрасывание цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример. Округление числа 132,584 до сотых долей единицы (до второго разряда десятичных знаков) даст результат 132,58. Округление этого же числа до десятых долей единицы (до первого разряда десятичных знаков) даст результат 132,6; округление данного числа до целого (до разряда единиц) даст результат 133; округление до разряда десятков даст результат 13-Ю или 1,3-102.

При геодезических вычислениях применяют следующие правила округления:

Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Примеры.

Округление числа 12,23 до первого десятичного знака даст результат 12,2.

Округление числа 0,02499 до второго десятичного знака даст результат 0,02.

Округление числа 8449 до разряда сотен даст результат 84« 102.

Округление числа 12 456 до разряда тысяч даст результат 12-Ю3.

Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.

Примеры.

Округление числа 24,6 до целых единиц даст результат 25. Округление числа 0,2361 до сотых долей (до второго разряда десятичных знаков) даст результат 0,24.

Округление числа 1483 до целых сотен даст результат 15-102.

Когда отбрасываемая часть числа ровно 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная (т. е. цифра разряда, до которого округляют число, в данном случае всегда должна быть четной).

Примеры.

Округление числа 4,55 до десятых долей даст результат 4,6.

Округление числа 122,5 до целых единиц даст результат 122.

Округление числа 0,0695 до тысячных долей единицы (до третьего разряда десятичных знаков) даст результат 0,070 или 70-10-3. результат 0,1;

если отбрасываемая цифра 5 получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последнюю цифру разряда, до которого округляют число, увеличивают на единицу; например, округление до одного десятичного знака числа 0,25, полученного в результате предыдущего округления числа 0,2501, даст результат 0,3.

В связи с этим округление приближенных чисел необходимо выполнять сразу до требуемого разряда, а не по этапам. Так, например, округление числа 565,46 до разряда целых единиц непосредственно дает результат 565 (правильный). Округление по этапам могло бы привести к ошибке, а именно: 1-й этап округления числа 565,46 до десятых долей дал бы результат 565,5; 2-й этап округления числа 565,5 до целых единиц дал бы результат 566 (неправильный).

Как округлять числа в большую и меньшую сторону функциями Excel

Округляют числа в Excel несколькими способами. С помощью формата ячеек и с помощью функций. Эти два способа следует различать так: первый только для отображения значений или вывода на печать, а второй способ еще и для вычислений и расчетов.

С помощью функций возможно точное округление, в большую или меньшую сторону, до заданного пользователем разряда. А полученные значения в результате вычислений, можно использовать в других формулах и функциях. В то же время округление с помощью формата ячеек не даст желаемого результата, и результаты вычислений с такими значениями будут ошибочны. Ведь формат ячеек, по сути, значение не меняет, меняется лишь его способ отображения. Чтобы в этом быстро и легко разобраться и не совершать ошибок, приведем несколько примеров.

Как округлить число форматом ячейки

Впишем в ячейку А1 значение 76,575. Щелкнув правой кнопкой мыши, вызываем меню «Формат ячеек». Сделать то же самое можно через инструмент «Число» на главной странице Книги. Или нажать комбинацию горячих клавиш CTRL+1.

Выбираем числовой формат и устанавливаем количество десятичных знаков – 0.

Результат округления:

Назначить количество десятичных знаков можно в «денежном» формате, «финансовом», «процентном».

Как видно, округление происходит по математическим законам. Последняя цифра, которую нужно сохранить, увеличивается на единицу, если за ней следует цифра больше или равная «5».

Особенность данного варианта: чем больше цифр после запятой мы оставим, тем точнее получим результат.



Как правильно округлить число в Excel

С помощью функции ОКРУГЛ() (округляет до необходимого пользователю количества десятичных разрядов). Для вызова «Мастера функций» воспользуемся кнопкой fx. Нужная функция находится в категории «Математические».

Аргументы:

  1. «Число» — ссылка на ячейку с нужным значением (А1).
  2. «Число разрядов» — количество знаков после запятой, до которого будет округляться число (0 – чтобы округлить до целого числа, 1 – будет оставлен один знак после запятой, 2 – два и т.д.).

Теперь округлим целое число (не десятичную дробь). Воспользуемся функцией ОКРУГЛ:

  • первый аргумент функции – ссылка на ячейку;
  • второй аргумент – со знаком «-» (до десятков – «-1», до сотен – «-2», чтобы округлить число до тысяч – «-3» и т. д.).

Как округлить число в Excel до тысяч?

Пример округления числа до тысяч:

Формула: =ОКРУГЛ(A3;-3).

Округлить можно не только число, но и значение выражения.

Допустим, есть данные по цене и количеству товара. Необходимо найти стоимость с точностью до рубля (округлить до целого числа).

Первый аргумент функции – числовое выражение для нахождения стоимости.

Как округлить в большую и меньшую сторону в Excel

Для округления в большую сторону – функция «ОКРУГЛВВЕРХ».

Первый аргумент заполняем по уже знакомому принципу – ссылка на ячейку с данными.

Второй аргумент: «0» — округление десятичной дроби до целой части, «1» — функция округляет, оставляя один знак после запятой, и т.д.

Формула: =ОКРУГЛВВЕРХ(A1;0).

Результат:

Чтобы округлить в меньшую сторону в Excel, применяется функция «ОКРУГЛВНИЗ».

Пример формулы: =ОКРУГЛВНИЗ(A1;1).

Полученный результат:

Формулы «ОКРУГЛВВЕРХ» и «ОКРУГЛВНИЗ» используются для округления значений выражений (произведения, суммы, разности и т. п.).

Как округлить до целого числа в Excel?

Чтобы округлить до целого в большую сторону используем функцию «ОКРУГЛВВЕРХ». Чтобы округлить до целого в меньшую сторону используем функцию «ОКРУГЛВНИЗ». Функция «ОКРУГЛ» и формата ячеек так же позволяют округлить до целого числа, установив количество разрядов – «0» (см.выше).

В программе Excel для округления до целого числа применяется также функция «ОТБР». Она просто отбрасывает знаки после запятой. По сути, округления не происходит. Формула отсекает цифры до назначенного разряда.

Сравните:

Второй аргумент «0» — функция отсекает до целого числа; «1» — до десятой доли; «2» — до сотой доли и т.д.

Специальная функция Excel, которая вернет только целое число, – «ЦЕЛОЕ». Имеет единственный аргумент – «Число». Можно указать числовое значение либо ссылку на ячейку.

Недостаток использования функции «ЦЕЛОЕ» — округляет только в меньшую сторону.

Округлить до целого в Excel можно с помощью функций «ОКРВВЕРХ» и «ОКРВНИЗ». Округление происходит в большую или меньшую сторону до ближайшего целого числа.

Пример использования функций:

Второй аргумент – указание на разряд, до которого должно произойти округление (10 – до десятков, 100 – до сотен и т.д.).

Округление до ближайшего целого четного выполняет функция «ЧЕТН», до ближайшего нечетного – «НЕЧЕТ».

Пример их использования:

Почему Excel округляет большие числа?

Если в ячейки табличного процессора вводятся большие числа (например, 78568435923100756), Excel по умолчанию автоматически округляет их вот так: 7,85684E+16 – это особенность формата ячеек «Общий». Чтобы избежать такого отображения больших чисел нужно изменить формат ячейки с данным большим числом на «Числовой» (самый быстрый способ нажать комбинацию горячих клавиш CTRL+SHIFT+1). Тогда значение ячейки будет отображаться так: 78 568 435 923 100 756,00. При желании количество разрядов можно уменьшить: «Главная»-«Число»-«Уменьшить разрядность».

Ошибка округления — Энциклопедия по машиностроению XXL

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что  [c.271]
Среди точных методов, очень важных в теоретическом плане, много таких (метод обратной матрицы, метод Крамера и некоторые другие), которые не могут быть рекомендованы для вычислительной практики, так как они требуют для своей реализации очень большого объема вычислений и при некоторых неблагоприятных обстоятельствах могут приводить к большим ошибкам округления. Из точных методов, с вычислительной точки зрения наиболее удобен метод Гаусса или метод исключения неизвестных. Отметим следующие достоинства этого метода.  [c.89]

Реализацию метода Гаусса можно организовать таким образом, что ошибка округления будет минимальной из всех возможных (метод главного элемента). Число операций, потребных для реализации этого метода, также минимально,  [c.89]

Устойчивой называют такую схему, для которой ошибки округления, неизбежные при всяком счете, при уменьшении шагов аргументов (сгущении сетки) не приводят к большим искажениям решения. В противном случае схема называется неустойчивой.  [c.84]

При вычислениях неизбежны ошибки округления, так как любое число представляется конечным количеством знаков. В процессе расчета эти ошибки могут накапливаться и быстро возрастать, поэтому результаты таких вычислений будут совершенно неправильными. Разностные схемы, расчет по которым не приводит к увеличению погрешностей из-за ошибок округления, называются устойчивыми.[c.191]

Рассматривая последовательность решений все с меньшей и меньшей ошибкой округления, можно исключать осцилляции на все больших расстояниях от поверхности нагружения. Было обнаружено, что необходимость уменьшения ошибки округления с ростом расстояния от поверхности нагружения непосредственно связана с увеличением кривизны графика функций sAf от Igs.  [c.147]

На первый взгляд кажется, что можно неограниченно уточнять расчет, выбирая достаточно малый шаг h. И это было бы справедливо, если бы расчеты велись абсолютно точно. На самом же деле, чем меньше шаг, тем меньшие добавка Ау = /if (у, t) на каждом шаге и тем больше относительная ошибка округления, неизбежная в связи с ограниченностью разрядной сетки машины. Поэтому на практике методом Эйлера в чистом виде не пользуются, предпочитая более сложные методы, позволяющие, однако, вести интегрирование с большим шагом.  [c.456]

Решение этой системы осуществляется методом прогонки (факторизации), который обладает малой чувствительностью к ошибкам округления.[c.96]

Равновероятное распределение встречается при статистическом описании рассеяния метрологических ошибок, например, ошибки округления при отсчете и др. кривая распределения дана на рис. 4, д.  [c.23]


Для достижения достаточно высокой точности расчета следующие основные процедуры МКЭ выполняются с удвоенной точностью построение матрицы жесткости элемента, направляющих косинусов решение системы уравнений. Для решения системы уравнений используется модифицированный метод квадратного корня [15], который является наиболее устойчивым по отношению к ошибкам округления.  [c.198]

ЦВМ и применяемого алгоритма решения. Практически это соответствует случаю, когда ошибки округления значительно меньше погрешности исходных данных или могут быть учтены, как погрешность исходных данных.  [c.152]

Замечания 1. Для этой же задачи в примере 7-11 был получен ответ 1. 046. Различие вызвано неточностью графических построений, а также ошибками округления значащих цифр три вычислениях. iBo всяком случае разница, составляющая только 1%, значительно меньше неточностей задаваемых характеристик насадок, которыми мы будем впоследствии пользоваться.  [c.332]

Погрешность численного расчета определяется методической ошибкой и арифметической ошибкой округления результатов.  [c.802]

Методическая ошибка зависит от выбора шага дискретного разбиения. Чем меньше шаг, тем меньше и методическая ошибка. Однако чем меньше шаг, тем большее количество циклов арифметических операций требуется повторить при решении задачи, следовательно, возрастает ошибка округления. Таким образом, существует оптимальное количество шагов разбиения, позволяющее решить задачу наиболее точно и с наименьшей затратой машинного времени.  [c.803]

Рассмотрим ситуацию плохой обусловленности системы. Для вычисления треугольного разложения матрицы средних размеров (порядка 1000) требуется около 10 действий, и при выполнении каждого из них можно ожидать ошибку округления. Если в арифметике с плавающей точкой складываются два числа, и их экспоненты различаются, например, на два, то последние две цифры в меньшем числе будут потеряны  [c.516]

Помимо случайных ошибок, в последние цифры используемых десятичных дробей входят ошибки округления.  [c.459]

Заметим, что в действительности мы не можем получить точного решения разностной задачи, например задачи (1.51), (1.52). В лучшем случае мы получим машинное решение, которое отличается от точного из-за округления чисел в ячейках памяти машины. Обозначим й и / соответствующие разностные функции с учетом ошибки округления  [c.213]

Подсчитаем ошибку аппроксимации разностного уравнения (1.51) с учетом ошибки округления 6  [c.213]

Наличие приближенного равенства здесь вызвано ошибками округления.  [c.256]

К этому выражению необходимо добавить ошибку округления произведения с дисперсией о = а  [c. 452]

При практическом использовании метода итераций следует иметь в виду, что процесс вычислений будет сопровождаться ошибками. Как уже отмечалось, всегда будут присутствовать ошибки округления и возможны ошибки другой природы. Всякая вычислительная машина оперирует числами с мантиссой конечной длины, т. е. с множеством чисел, содержащим конечное число элементов. Такое множество, разумеется, не является полным, и последовательность, получаемая вычислительным путем, может вообще не иметь предела. Типичной является ситуация, когда последовательность зацикливается, т. е. л x s для всех п, начиная с некоторого. Существование предела такой последовательности возможно только, если период цикла 5 == 1. В этих условиях сформулированные ранее теоремы требуют уточнения.  [c.72]

Аренц [3, 4] применил метод коллокаций к одномерным и двумерным задачам о распространении вязкоупругих волн в изотропной среде. Было обнаружено, что в точках, достаточно удаленных от поверхности нагружения, решение имеет колебательный характер, что объяснялось явлением дисперсии, связанной с зависимостью комплексных модулей от частоты. Впоследствии Кнаусс [60] решил ту же самую одномерную задачу методом Фурье и не обнаружил подобных осцилляций решений. Автор также занимался этим вопросом, и его неопубликованные исследования показали, что осцилляции, обнаруженные Аренцом, являются результатами погрешностей в численных расчетах и, в частности, обусловлены ошибками округления.  [c.147]

Для того чтобы упростить построение оптимальной сглажи-ваюш,ей кривой и проконтролировать ошибки округления при численных расчетах, вводятся ортогональные полиномы. При этом определение значения п приводит к чрезвычайно ясному статистическому анализу.  [c.160]


При реализации МНК-метода на ЭВМ, работающей с псевдочислами ограниченной длины, на результат решения задачи существенно влияют ошибки округления, что в конечном счете может привести к невозможности построения аппроксимации требуемой точности.  [c. 181]

Nq становится бесконечно большим при значениях—гпр1т , близких к 2, т. е. при—mpjmQ— , 99)А для случая / и 1,992 для случая II. Напомним, что найденное прежде по рис. 7-34 максимальное значение—гпр jniQ равно 2. Разница вызвана ошибками округления значащих цифр.  [c.340]

При реализации такого подхода на ЭВМ ошибки округления приводят к нарушению ортогональности системы. Для компенсации эффекта, связанного с накоплением ошибок, используют реортого-нализацию, включенную в процесс ортогонализации для нахождения каждой функции ф4. Соответствующая формула имеет вид  [c.28]

При реализации метода Гаусса на ЭВМ надо иметь в виду,, что арифметические операции в процессоре производятся с фиксированным количеством знаков. Так, для ЭВМ Минск-22 и Минск-32 операции производятся с точностью до 9 десятичных знаков, для ЭВМ M-22Q — до 11 знаков, для ЕС ЭВМ с одинарной точностью — до 7 знаков, а с двойной — до 16. Это приводит к ошибкам округления, которые возникают из-за усечения или округления исходных данных или из-за накопления погрешности в-ходе самого решения. Для метода Гаусса число операций умноже-  [c.104]

При применении прямых методов получение достаточно точных решений связано с решением больших систем уравнений, решение которых затруднено из-за ограниченных возможностей вычислительных машин (память, быстродействие, ошибки округления). Поэтому при составлении программ решения больших систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации вариационных задач, стремятся учесть особый вид магриц таких систем например, их малую заполненность, ленточную структуру и т. д. Такие системы можно решать на ЭВМ точными методами (Гаусса, Жордана), если использовать внешние запоминающие устройства и применять специальные приемы, направленные на экономию памяти и времени счета, например блочный метод Гаусса.  [c.180]

Системы вариационно-разностных уравнений хорошо приспособлены для решения итерационными методами. Это становится очевидным, если учесть, что большинство итерационных методов можно трактовать как различные методы спуска из выпуклого программирования (см. , например, [5.14]). При этом становятся ясными вопросы их сходимости. Важное достоинство итерационных методов в том, что они являются самоисправляющимися, т. е. не только не накапливают, но и исправляют ошибки округления.  [c.180]

Исследование устойчивости разностной схемы отвечает на вопрос о поведении ошибо округления. Разностный оператор Ьн называют устойчивым, если в результате его при] енения ошибка, допущенная в исходном решении, убывает. Обозначим ошибку округления в точке i в момент i» через 6″ а в момент i» через В результате действия оператора Lh на решение эти ошибки  [c.215]

Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда s и т -> О, и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о том, уменьшаются ли численные ошибки и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения (3.4). В работе [16] устойчивость уравнения (3.4) изучается методом, разработанным Нейманом в ней отмечено характерное превосходство неявных соотношений типа (3.11). В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях, в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались.  [c. 460]

И вычисление множителей, и обратная подстановка связаны с делением на ведущие элементы. При этом алгоритм не может быть реализован, если какой-либо из ведущих элементов равен нулю. Если- же он близок к нулю, то ошибки округлений, совершенных в процессе вычисления, могут привести к значительным, погрешностям. Для того чтобы избежать их, применяют метод частичного выбора ведущего элемента на k-M шаге прямого хода в качестве ведущего берется наибольший (по абсолютной величине) эиемент неприведенной части k-ro столбца. Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой с тем, чтобы перевести ведущий элемент в позицию (А, k), Такие же перестановки должны производиться с элементами правой части Ь , Неизвестные в векторе х не переупорядочиваются, поскольку столбцы в А не переставлялись. .  [c.53]

При использовании для исследования метода Рэлея — Ритца обычно сталкиваются с проблемой установления точности пО Дученных результатов. Она существенно зависит от способности функций, принятых в расчетах, в достаточной степени правильно аппроксимировать форму смещенной поверхности оболочки. Увеличение числа членов ряда в общ м приводит к улучшению точности результатов, но получающееся при этом увеличение размера матриц, ошибки округлений при вычислениях и стоимость машинного времени зачастую ограничивают требуемую точность результатов.  [c.246]

Если ошибки округления бд и бе статистически независимы и имеют одинаковые дисперсии а = Д712, дисперсия погрешности произведения, обусловленной округлением сомножителей, равна  [c.452]


Об ошибках округления.

Метод исключения Гаусса – алгоритм, который обманчиво прост.

Перечислим несколько аспектов, которые несколько глубже, чем простая техника исключения.

а) Интерпретация метода исключения как разложения матрицы коэффициентов Aв произведение нижнейLи верхнейUтреугольных матриц.

б) Умение оценивать количество арифметических действий, требуемых для решения системы методом исключения. Во многих практических задачах приходится балансировать между необходимой точностью математической модели и общим объемом вычислительной работы. Поэтому вопрос о числе вводимых неизвестных решается именно подсчетом числа арифметических действий. (для ниже рассматриваемой системы число таких действий равно n3/3, метод Гаусса не самый быстрый метод, существует метод с количеством арифметических действий)

в) Необходимо знать, каким образом решение xвосприимчиво к ошибкам округления. Для некоторых задач решение оказывается восприимчивым, для других нет. Если причина восприимчивости понятна, то легко догадаться, каким образом ее контролировать. Без такого контроля вычислительная машина может выполнить миллионы операций, округляя каждый результат до фиксированного числа, а полученное решение окажется абсолютно бесполезным.

    1. Влияние малых ведущих элементов на метод Гаусса.

Как было сказано выше в методе Гаусса ведущие элементы каждого шага должны быть отличны от нуля. Однако этого мало – их близость к нулю может оказаться причиной значительных отличий найденного приближенного решения от точного.

Рассмотрим систему .

Решим ее с округлением, используя лишь три десятичные цифры на каждом шаге. Это означает, что оставляются только три старшие значащие десятичные цифры любого результата арифметических операций.

Округление к ближайшему целому (англ.rounding) — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален.

В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-ого знака, правило может быть сформулировано следующим образом:

если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;

если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Например: при N = 3

99839980 99889990 9999≈10000

Максимальная дополнительная абсолютная погрешность, вносимая при таком округлении (погрешность округления), составляет ±0,5 последнего сохраняемого разряда.

Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 10000

1 – 10000 = – 9999≈ – 10000.Все результаты округляются до трех значащих цифр.

2 – 10000 =-9998≈ – 10000.Все результаты округляются до трех значащих цифр.

Теперь обратным ходом получим ,

,

То есть имеет место вычислительная катастрофа, поскольку точным решением системы является

Переставим уравнения системы, т.е. выполним процедуру выбора ведущего элемента.

Решим систему методом Гаусса в тех же предположениях о точности системы.

Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 0.000100 

1 – 0.000100 = 0.9999≈ 1.0000, 1 – 0.000200 = 0.9998 ≈ 1.

,

обратным ходом получим решение .

Вывод из данного примера таков:

недостаточно избегать только нулевых ведущих элементов, необходимо также избегать относительно малых ведущих элементов.

Но и это ещё не всё.

pygeoguz · PyPI

Project description

PyGeoGUZ

Решение задач геодезии на языке Python

SimpleGeo:
  1. Прямая геодезическая задача
  2. Обратная гоедезическая задача
  3. Площадь полигона по формуле Гаусса
  4. Координаты точки пересечения двух линий
  5. Кординаты середины отрезка
  6. degrees, minutes, seconds -> degrees
  7. degrees -> degrees, minutes, seconds
  8. Вычисление верного значения угла
  9. hours -> degrees
  10. degrees -> hours
  11. Генерация псевдослучаных погрешностей измерений
  12. Округление по Гауссу
  13. Вычисление левых горизонтальных углов хода
Adjustment:
  1. Параметрический метод уравнивания с оценкой точности
  2. Уравнивание теодолитного хода раздельным методом
Transform:
  1. Преобразование координат ПЗ90 -> WGS84
  2. Преобразование координат WGS84 -> ПЗ90
  3. Преобразование координат Геодезические -> Плоские в проекции Гаусса-Крюгера
  4. Преобразование координат Плоские в проекции Гаусса-Крюгера -> Геодезические

Установка


pip install pygeoguz

Download files

Download the file for your platform. If you’re not sure which to choose, learn more about installing packages.

Files for pygeoguz, version 0.0.4
Filename, size File type Python version Upload date Hashes
Filename, size pygeoguz-0.0.4-py3-none-any.whl (9.4 kB) File type Wheel Python version py3 Upload date Hashes View
Filename, size pygeoguz-0. 0.4.tar.gz (8.6 kB) File type Source Python version None Upload date Hashes View

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

  1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
  2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
  3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
  4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

  • ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
  • длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.
Источник: bigpicture.ru

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

  1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
  2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».
Источник: wp.com

Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

  • из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
  • отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

  • определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
  • неопределенные;
  • обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Источник: asiaplustj.info

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

  1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
  2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
  3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
  4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
  5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Источник: wp.com

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

Источник: wp.com

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Источник: wp.com

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Источник: wp.com

Варианты дальнейших действий:

  • перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
  • деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
  • удаление нулевых строк;
  • добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp. com

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Источник: wp.com

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Источник: wp.com

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

Источник: wp.com

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

Источник: wp.com

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Источник: supertics. com

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Решение

Необходимо составить матрицу:

Источник: wp.com

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Источник: wp. com

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Источник: wp.com

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

 

 

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Источник: wp.com

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

чисел — зачем округлять до четных целых чисел?

Я думаю, причина в том, чтобы не допустить смещения чисел в среднем вверх или вниз.

Например, если у вас есть список чисел, который включает много x,5, и вы должны округлить все эти числа в большую сторону, средняя величина списка также сместится в сторону увеличения. Аналогично, если вы округляете вниз, вниз.

При округлении до ближайшего четного числа они уравновешиваются при достаточном количестве отсчетов.


  SetAttributes [RoundUp, Listable]
RoundUp [a_]: = Если [FractionalPart [a]> = 1/2, Ceiling [a], Floor [a]]

d = Таблица [i, {i, 0, 100, 1/10}];

Среднее [Round [d]] // N
  
  50. 
  Среднее [RoundUp [d]] // N
  
  50,05
  
  Среднее [d]
  
  50
  

Дополнительные ссылки

Согласно Википедии это также известно как:

округление без смещения, сходящееся округление, округление по статистике, округление по голландскому языку, округление по Гауссу, округление по нечетному и четному3 или банковское округление, и широко используется в бухгалтерском учете.

Поиск некоторых из этих терминов дает много хороших результатов, в том числе:

stackoverflow.com

Он не страдает от отрицательного или положительного смещения в такой степени, как метод округления половины от нуля в большинстве разумных распределений. … Но вопрос заключался в том, почему [] использует фактическое округление Banker по умолчанию — и ответ заключается в том, что Microsoft следовала стандарту IEEE 754.

mathforum.org

Где важна статистика, а где числа, заканчивающиеся с 5 являются общими, метод, о котором вы говорите, является предпочтительным, потому что это позволяет избежать предвзятого отношения к округлению.С другой стороны, там могут возникнуть ситуации, когда предпочтение отдается числам, оканчивающимся четным цифра может быть плохой. У каждого метода есть свое место.

blogs.msdn.com

В идеале, когда вы берете среднее значение, вы хотите взять среднее значение необработанных данных с максимально возможной точностью. Но в реальном мире нам часто приходится брать средние данные, которые потеряли некоторую точность. В такой ситуации алгоритм округления банкира дает лучшие результаты, потому что он не смещает половинные количества последовательно вниз или последовательно вверх.Предполагается, что в среднем равное количество половинных количеств будет округлено в большую и меньшую сторону, а ошибки будут устранены.

cplusplus.com

Если число находится точно посередине между двумя значениями, округлить до четного значения (даже здесь считается ноль). … Для случайных данных это очень удобно. Банкирам это нравится, потому что деньги вносятся и снимаются случайным образом. (Имейте в виду, что есть тенденции, но вы не можете точно предсказать, сколько будет внесено и снято.) Важным моментом является то, что округление банкиров по-прежнему смещено, если данные смещены. Он объективен только со случайными данными.

www.russinoff.com

Одним из следствий этого результата является то, что средняя точка иногда округляется в большую сторону, а иногда в меньшую, и, следовательно, в ходе длинной серии вычислений и приближений ошибка округления с меньшей вероятностью накапливается в значительной степени в одном конкретном направлении, чем она было бы, если бы выбор производился более последовательно.Стоимость этой функции — более сложное определение, требующее более дорогой реализации.

Понимание округления Банкира — rounding.to

Когда вы изучаете математику, это нормально, что одна из тем включает числа для округления. Однако, как вы, возможно, уже знаете, округление чисел — это часть нашей жизни. Неважно, находитесь ли вы в супермаркете и хотите убедиться, что у вас достаточно денег, чтобы оплатить счет, или когда вы едите с коллегами и хотите разделить счет.

Узнайте все, что вам нужно знать об округлении чисел.

Тем не менее, вы, возможно, никогда не слышали об округлении Банкира. Итак, сегодня мы решили рассказать вам все, что вы знаете о процессе округления Banker, и о том, когда вы можете его использовать.

Что такое округление банкира?

Проще говоря, округление Банкира — это алгоритм округления количеств до целых чисел. Но этот алгоритм применяется к числам, которые равноудалены от двух ближайших целых чисел, и округляются до ближайшего четного целого числа.

Вот несколько примеров, которые помогут вам лучше понять концепцию округления Банкира:

  • 0,5 округляется до 0. Почему? Потому что 0 — ближайшее четное целое число.
  • 1,5 округления до 2. Почему? Потому что 2 — ближайшее четное целое число.
  • 73,5 округления до 74. Почему? Потому что 74 — ближайшее четное целое число.
  • 74,5 округляется до 74. Почему? Потому что 74 — ближайшее четное целое число.
  • 75,5 округлений до 76. Почему? Потому что 76 — ближайшее четное целое число.
  • 76,5 округляется до 76. Почему? Потому что 76 — ближайшее четное целое число.

Это наиболее распространенные методы округления.

Однако, когда вы научитесь округлять числа в школе, вы округлите вышеуказанные числа до ближайшего целого следующим образом:

  • 0,5 округления до 1. Почему? Потому что 1 — ближайшее целое число.
  • 1,5 округления до 2. Почему? Потому что 2 — ближайшее целое число.
  • 73,5 округления до 74. Почему? Потому что 74 — ближайшее целое число.
  • 74,5 округления до 75. Почему? Потому что 75 — ближайшее целое число.
  • 75,5 округлений до 76. Почему? Потому что 76 — ближайшее целое число.
  • 76,5 округлений до 77. Почему? Потому что 77 — ближайшее целое число.

Как видите, обычный алгоритм округления и округление Банкира дают разные результаты.

Что такое ошибка округления?

Предупреждение

Когда вы используете округление Банкира, вы должны понимать, что его можно применить только к половинному числу.Это просто означает, что его можно применять только к числам, которые заканчиваются на 5. Это единственные числа, которые требуют особого обращения. Все остальные числа следует округлить с использованием обычного алгоритма округления.

Банкирское округление обычно используется банкирами, как вы легко понимаете по его названию. Основным преимуществом является то, что он не смещен, что означает, что он дает лучшие результаты с различными операциями, включающими округление.

Узнайте о последствиях ошибок округления.

Итог

Как видите, округление Банкира понять нетрудно. Хотя вам может не понадобиться использовать его в повседневной жизни, важно знать концепцию и полностью ее понимать. В конце концов, вы также изучили другие методы округления, такие как округление в большую сторону (потолок) и округление вниз (пол), округление половины до нечетного или округление половины до четного, среди прочего.

Сообщение навигации

Методы округления

Есть много способов округлить числа…

Во-первых, что такое «Округление»?

Округление означает упрощение числа , но сохранение его значения близким к тому, что было. Результат менее точен, но его проще использовать.

Пример: 7,3 раунда до 7

Потому что 7.3 ближе к 7, чем к 8

(Примечание: в этих примерах мы округляем до целых чисел, но мы можем округлять до десятков, десятых и т. Д.)

А как насчет 7.5 ? Это ближе к 7 или ближе к 8?

7,5 находится на полпути, так что нам делать?

Half Round Up (общий метод округления)

Обычный метод округления состоит в том, чтобы сделать 0,5 до до , так что 7,5 округляются до 8

7,5 обычно округляется до 8

Но это не закон или что-то в этом роде, это просто то, что люди обычно соглашаются делать, и мы получаем следующее:

  • 7.6 раундов до 8
  • 7,5 раундов до 8
  • 7,4 округляется до 7

Дополнительные сведения об этом методе см. В разделе «Округление чисел».

Полукругление вниз

Но 5 может опуститься до , если захотим. В этом случае 7,5 округляются до 7, и мы получаем:

.
  • 7,6 раундов до 8
  • 7,5 округляется до 7
  • 7,4 округляется до 7

Но мы всегда должны сообщать людям, что мы используем «Half Round Down».

Почему снижается 0,5? Может быть, в наших числах много 0,5, и мы хотим увидеть, как округление повлияет на наши результаты.

Поиграйте … попробуйте разные методы округления с помощью инструмента округления.

Отрицательные числа

А как насчет -7,5 ?

  • Округляется ли до -8 (и идет ли «вверх» или «вниз»?),
  • Или округляется до -7?

Помогите! Я сбит с толку!

На самом деле, весь мир сбит с толку округлением отрицательных чисел… некоторые компьютерные программы округляют от -7,5 до -8, другие до -7

Но мы можем согласиться с здесь , что «вверх» означает направление в положительном направлении, как на этой числовой строке:

Половина округления (включая отрицательные числа)

Получаем:

  • 7,6 раундов до 8
  • 7,5 раундов до 8
  • 7,4 округляется до 7
  • -7,4 округления до -7
  • -7.5 раундов до -7
  • -7,6 округляется до -8

Половина округления вниз (включая отрицательные числа)

Когда мы округляем на 0,5 до , получаем:

  • 7,6 раундов до 8
  • 7,5 округляется до 7
  • 7,4 округляется до 7
  • -7,4 округления до -7
  • -7,5 округления до -8
  • -7,6 округляется до -8

«Симметричное» Округление

Но, может быть, вы думаете: «7.5 раундов до 8, поэтому -7,5 должно превратиться в -8 дюймов, что красиво и симметрично.

Что ж, вам повезло, потому что это округление в сторону нуля или от нуля :

Раунд до половины от 0

Для этого метода 0,5 округляет число так, чтобы оно было на дальше от нуля , например:

  • 7,6 выстрелов до 8
  • 7,5 округления до 8
  • 7,4 округления до 7
  • -7.4 раунда до -7
  • -7,5 выстрелов до -8
  • -7,6 округления до -8

Раунд до половины 0

Или мы можем округлить число, близкое к нулю, на 0,5, например:

  • 7,6 выстрелов до 8
  • 7,5 округления до 7
  • 7,4 округления до 7
  • -7,4 оборота до -7
  • -7,5 выстрелов до -7
  • -7,6 округления до -8

Но быть последовательным может быть плохо

Однако выбор любого из этих методов может быть плохим!

Представьте, что вы складываете длинный список чисел.Вы решаете округлить каждое число, чтобы сделать это быстрее. Если много 0,5, все они будут округлены, и ваш ответ будет иметь смещение .

Пример: сложите эти числа до и после округления: 5,5, 7,5, 6,5, 9,5

До округления: 5,5 + 7,5 + 6,5 + 9,5 = 29

После округления: 6 + 8 + 7 + 10 = 31

Расчет был намного проще, но ответ сместился с на !

Как сделать так, чтобы округление не происходило в одном направлении?

Мы можем округлить в сторону четных (или нечетных) чисел или просто выбрать случайным образом .

Округление до четного (Банковское округление)

Округляем 0,5 до ближайшего четного цифры

Пример:

7,5 округления вверх с на 8 (поскольку 8 — четное число)

, но 6.5 округляет вниз с до 6 (поскольку 6 — четное число)

Остальные числа (не заканчивающиеся на 0,5) округляем до ближайшего, как обычно, так:

  • 7,6 раундов до 8
  • 7.5 раундов от до до 8 (поскольку 8 — четное число)
  • 7,4 округляется до 7
  • 6,6 раундов до 7
  • 6.5 округляет вниз с до 6 (поскольку 6 — четное число)
  • 6,4 округляется до 6
  • и т. Д.

Округлить до нечетного

То же, что и «Round To Even», но с 0,5 до нечетных чисел

Пример:

7.5 округляется до 7 (поскольку 7 — нечетное число)

, но 6.5 округляет до 7 (поскольку 7 — нечетное число)

Раунд случайным образом

Мы также можем выбрать округление на 0,5 в большую или меньшую сторону, но как? Подбрасывая монетку? Или компьютерная функция?

С большим списком чисел это может дать хорошие результаты, но также дает каждый раз другой ответ (если мы не используем фиксированный список случайных вариантов).

Пол и потолок

Есть два других метода, которые даже не рассматривают 0.5. Они называются напольными и потолочными.

Этаж дает нам ближайшее целое число вниз (а потолок идет вверх).

Пример: Что такое пол и потолок 2,31?

Пол 2,31 составляет 2
Потолок 2,31 составляет 3

Этаж

Используя слово «пол», все цифры опускаются, независимо от того, какая пропущенная цифра:

Пример: 7,8 снижается до 7

, так же как и 7.2, 7,5, 7,9 и т. Д.

И 7 идет к 7 тоже.

Потолок

И «потолок» поднимается вверх:

Пример: 7.1 увеличивается до 8

, 7.2, 7.5, 7.8 и т. Д.

Но 7 остается на 7 .

Сводка

Число Половина
Вверх
Половина
Вниз
Половина
На выезде 0
Половина
До 0
Половина
Четный
Половина
Нечетный
Пол Потолок Потолок
8 8 8 8 8 8 8 8 8
7.6 8 8 8 8 8 8 7 8
7,5 8 7 8 7 8 7 7 8
7,4 7 7 7 7 7 7 7 8
7 7 7 7 7 7 7 7 7
-7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -7
-7.4 -7 -7 -7 -7 -7 -7 -8 -7
-7,5 -7 -8 -8 -7 -8 -7 -8 -7
-7,6 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -7
-8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8

Округление до десятков, десятых и т.д…

В наших примерах мы округлили до целых чисел, но вы можете округлить до десятков, десятых и т. Д .:

Пример: «Половина округления» до

десятков (ближайшие 10):

25 раундов до 30

24,97 округляется до 20

Пример: «Половина округления» до

сотых (ближайшее 1/100):

0,5168 округляется до 0,52

1,41119 округляется до 1,41

Math Year 2013: округление — стандартный метод и метод статистики a.k. округление по Гауссу или банковское округление.


Не люблю рассказывать сказки вне школы. Я считаю, что отношения учителя и ученика являются конфиденциальными, особенно со стороны учителей. Но я скажу это.

Студенты, которых я обучаю, чертовски заняты округлением.

Я преподавал некоторые лечебные классы в общественном колледже, такие как арифметика и предалгебра, и учащиеся на этих курсах часто не догадываются о округлении, либо округлении до ближайшего десятичного числа, например, до десятых, сотых или тысячных. — или округление до ближайшей тысячи или миллиона или округление до определенного количества значащих цифр.На более поздних курсах, таких как статистика или даже исчисление или линейная алгебра, я вижу, что есть больше, чем несколько студентов, которые не поняли, что округление вверх и вниз, обычно всегда округление в меньшую сторону, также известное как усечение.

Для меня это серьезное педагогическое препятствие. Когда я преподаю, я стараюсь думать о том, что я не знал, как что-то делать, и вспоминать то, что помогло мне этому научиться. Я не скажу, что научился округлять за считанные секунды, но похоже, что я это сделал. Я уверен, что наткнулся на это когда-то в начальной школе, но после нескольких ошибок механическое правило встало на свои места и обрело смысл.

Посмотрите на цифру, которая собирается исчезнуть, справа от последнего места округления. Если это 5, 6, 7, 8 или 9, добавьте единицу к цифре, до которой вы округляете. Если это 0, 1, 2, 3 или 4, последняя цифра, которую вы собираетесь использовать, останется прежней. Первый метод называется округлением до , а второй вариант называется округлением до до .

Пример: 4/7 = 0,571428571428 …, десятичный разряд, затем шестизначный образец 571428, повторяющийся бесконечно.

Округлите 4/7 до ближайшей десятой.
Цифра в разряде десятых — 0,5, поэтому ответ будет либо 0,5, либо .6; поскольку следующая цифра (в некоторых текстах называемая цифрой решения ) — это 7, мы добавляем 1 к 5 и получаем 0,6

Раунд 4/7 до ближайшей сотой.
Если мы усечем до сотых, мы получим 0,57, поэтому ответ будет либо 0,57, либо 0,58; поскольку следующая цифра — 1, оставим 0,57 как есть.

Округлите 4/7 до тысячных.
Если усечь до тысячных, то получим.571, поэтому ответ будет либо 0,571, либо 0,572; поскольку следующая цифра — 4, оставим .571 как есть.

Хорошо, я полагаю, что это не новость для многих моих читателей, хотя, возможно, вы давно не думали об этом.

Меня огорчает, что я не знал о других методах, учитывая мои преклонные годы, но статистический текст, который я использую впервые, содержит предварительный тест математических навыков и использует немного другой метод, известный под несколькими именами. Впервые я услышал об этом как о «банковском округлении», хотя, проводя дополнительные исследования, я понимаю, что «метод статистики» или «округление по Гауссу» более распространены и, вероятно, более точны.


Допустим, для аргументации мы округляем до ближайшего доллара, избавляясь от надоедливых копеек. Метод, который вы, вероятно, изучили в школе, который здесь называется «Традиционный», будет просто смотреть на десятую позицию.

Пример:
Если у нас есть от 2,00 до 2,49 доллара, это будет «округлено в меньшую сторону» до 2,00 долларов.

Если вместо этого сумма составляет от 2,50 до 2,99 доллара, мы «округляем» до 3,00 долларов.

Новый метод почти полностью совпадает со старым, и единственным спорным случаем является полдоллара.Технически 2,51 доллара должны превратиться в 3 доллара, потому что это наиболее близкое значение. (Это 49 центов от 3 долларов и 51 цент от 2 долларов). Точно так же 2,49 доллара следует округлить до 2,00 долларов, поскольку это ближайшее значение. но 2,50 доллара представляют собой философскую дилемму, поскольку это ровно 50 центов от 3 долларов и 50 центов от 2 долларов.

Этот новый метод требует округления числа в форме x ,5 до ближайшего четного числа. Это означает, что в половине случаев мы округляем x ,5 в большую сторону, а в половине случаев — в меньшую.Строка желтого цвета показывает единственное несоответствие между 1 и 3. 1,5 округляется традиционно до 2, а в новом методе округляется до ближайшего четного числа, которое по-прежнему равно 2. Но 2,5 округляется традиционно до 3, а в новом методе округляется до ближайшего четного числа. на 2.

Зачем заморачиваться? Подумайте о том, что мы меняем в сумме округленных чисел, предполагая, что все числа появятся с одинаковой вероятностью. Допустим, у нас есть следующий список чисел:

1.00
1.01
1.02

2.98
2.99
3,00

Эти 201 записи в сумме дают 402, что означает, что в среднем 402/201 = 2.

Если округлить их стандартным методом, мы получим

50 x 1 = 50
100 x 2 = 200
51 x 3 = 153

В сумме получается 403, а 403/201 = 2,004975124 …, то есть сложение, затем округление не даст того же ответа, что и округление, а затем сложение.

Вот что происходит, если округлить этот набор с помощью статистического округления.

50 x 1 = 50
101 x 2 = 202
50 x 3 = 150

В сумме получается 402 и округляется до 2 точно.

Как учитель, который знает, что мои ученики уже испытывают трудности с округлением, это представляет проблему. Я не хочу «упрощать» учебную программу, но я также не хочу добавлять дополнительные задачи, когда в этом нет необходимости. Поискав в Википедии этот метод, я обнаружил, что это стандарт для использования IEEE 754 с операциями с плавающей запятой.

Некоторые, но, конечно, не все мои студенты могут видеть это в своей карьере. Я надеюсь, что люди, которые занимаются программированием, будут лучше разбираться в математике, но, проработав почти два десятилетия в этой области, я знаю, что это не всегда так.Не раз я участвовал в проекте в крупной компьютерной компании, который включал что-то вроде высшей математики, и я был единственным программистом в большой команде, который знал правильный метод. Иногда это было что-то немного эзотерическое, вроде теории групп и симметрии квадрата. В другой раз я был единственным человеком, который действительно понимал, как работают синус и косинус.

Одно из моих любимых выражений, которые я узнал от отца, — «Ты узнаешь что-то новое каждый день, если не будешь осторожен». Что ж, я не был осторожен и вчера узнал кое-что новое.Теперь мне нужно решить, как это применить к классам, которые я преподаю.

Было бы намного проще, если бы я сделал то, что мне сказали, и не наплевал бы на крысиную задницу, но, поскольку мне сейчас два десятка и семнадцать лет, у меня возникает чувство: «Мне плевать на крысиную задницу». «вариант не открыт для меня.

Gaussian / Banker’s Rounding в JavaScript · GitHub

Gaussian / Banker’s Rounding в JavaScript · GitHub

Мгновенно делитесь кодом, заметками и фрагментами.

Гауссово / Банковское округление в JavaScript

функция evenRound (num, decimalPlaces) {
var d = decimalPlaces || 0;
var m = Math.pow (10, d);
var n = + (d? Num * m: num).toFixed (8); // Избегаем ошибок округления
var i = Math.floor (n), f = n — i;
var e = 1e-8; // Учет ошибок округления в f
var r = (f> 0,5 — e && f <0,5 + e)?
((i% 2 == 0)? I: i + 1): Math.round (n);
возврат d? п / м: г;
}
консоль.журнал (evenRound (1.5)); // 2
console.log (evenRound (2.5)); // 2
console.log (evenRound (1.535, 2)); // 1.54
console.log (evenRound (1.525, 2)); // 1.52
Вы не можете выполнить это действие в настоящее время. Вы вошли в систему с другой вкладкой или окном. Перезагрузите, чтобы обновить сеанс.Вы вышли из системы на другой вкладке или в другом окне. Перезагрузите, чтобы обновить сеанс.

Округление чисел в Python — злоупотребление стеком

Использование компьютера для выполнения довольно сложных математических операций — одна из причин, по которой эта машина была изначально разработана. Пока в вычислениях участвуют исключительно целые числа и сложения, вычитания и умножения, все в порядке. Как только в игру вступают числа с плавающей запятой или дроби, а также деления, это чрезвычайно усложняет все дело.

Как обычный пользователь, мы не полностью осознаем эти проблемы, которые происходят за кулисами и могут закончиться довольно неожиданными и, возможно, неточными результатами для наших расчетов. Как разработчики, мы должны принять во внимание соответствующие меры, чтобы компьютер работал правильно.

В нашей повседневной жизни мы используем десятичную систему, основанную на числе 10. Компьютер использует двоичную систему с основанием 2, а внутри он хранит и обрабатывает значения как последовательность единиц и нулей.Ценности, с которыми мы работаем, должны постоянно трансформироваться между двумя представлениями. Как объяснено в документации Python:

… большинство десятичных дробей не могут быть представлены точно как двоичные дроби. Следствием этого является то, что, как правило, вводимые вами десятичные числа с плавающей запятой только аппроксимируются двоичными числами с плавающей запятой, фактически сохраненными в машине.

Такое поведение приводит к удивительным результатам в простых добавлениях, как показано здесь:

Листинг 1: Неточности в числах с плавающей запятой

  >>> s = 0.3 + 0,3 + 0,3
>>> с
0,8999999999999999
  

Как вы можете видеть здесь, вывод неточный, так как должно получиться 0,9.

В листинге 2 показан аналогичный случай форматирования числа с плавающей запятой для 17 десятичных разрядов.

Листинг 2: Форматирование числа с плавающей запятой

  >>> формат (0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'
  

Как вы, возможно, узнали из приведенных выше примеров, работа с числами с плавающей запятой немного сложна и требует дополнительных мер для достижения правильного результата и минимизации вычислительных ошибок.Округление значения может решить по крайней мере некоторые проблемы. Одна из возможностей — встроенная функция round () (более подробную информацию о ее использовании см. Ниже):

Листинг 3: Расчет с округленными значениями

  >>> s = 0,3 + 0,3 + 0,3
>>> с
0,8999999999999999
>>> s == 0,9
Ложь
>>> раунд (0,9, 1) == 0,9
Правда
  

В качестве альтернативы вы можете работать с математическим модулем или явно работать с дробями, хранящимися в виде двух значений (числитель и знаменатель) вместо округленных, довольно неточных значений с плавающей запятой.

Для хранения таких значений в игру вступают два модуля Python: десятичная и дробная (см. Примеры ниже). Но сначала давайте подробнее рассмотрим термин «округление».

Что такое округление?

В двух словах процесс округления означает:

… замена [значения] другим числом, которое примерно равно исходному, но имеет более короткое, простое или более явное представление.

Источник: https: // en.wikipedia.org/wiki/Rounding

По сути, он увеличивает неточность точно рассчитанного значения, сокращая его. В большинстве случаев это делается путем удаления цифр после десятичной точки, например от 3,73 до 3,7, от 16,67 до 16,7 или от 999,95 до 1000.

Такое сокращение выполняется по нескольким причинам — например, для экономии места при сохранении значения или просто для удаления неиспользуемых цифр. Кроме того, устройства вывода, такие как аналоговые дисплеи или часы, могут отображать вычисленное значение только с ограниченной точностью и требуют скорректированных входных данных.

В общем, для округления применяются два довольно простых правила, вы можете помнить их еще со школы. Цифры от 0 до 4 ведут к округлению в меньшую сторону, а числа от 5 до 9 — к округлению в большую сторону. В таблице ниже показаны варианты использования.

  | исходное значение | округлено до | результат |
| ---------------- | -------------- | -------- |
| 226 | десять | 230 |
| 226 | сотня | 200 |
| 274 | сотня | 300 |
| 946 | тысяча | 1,000 |
| 1,024 | тысяча | 1,000 |
| 10ч55м50с | минуту | 10ч55м |
  

Методы округления

Математики разработали множество различных методов округления, чтобы решить проблему округления.Это включает в себя простое усечение, округление вверх, округление в меньшую сторону, округление до половины вверх, округление до половины в меньшую сторону, а также округление половины от нуля и округление половины до четного.

Например, округление от нуля до половины применяется Европейской комиссией по экономическим и финансовым вопросам при конвертации валют в евро. Некоторые страны, такие как Швеция, Нидерланды, Новая Зеландия и Южная Африка, следуют правилу под названием «округление наличными», «округление в пенни» или «округление в Швеции».

[Округление наличных] происходит, когда минимальная расчетная единица меньше наименьшего физического достоинства валюты.Сумма, подлежащая оплате за транзакцию с наличными, округляется до ближайшего кратного значения минимальной доступной денежной единицы, тогда как транзакции, оплаченные другими способами, не округляются.

Источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Cash_rounding

В Южной Африке с 2002 года округление денежных средств производится до ближайших 5 центов. Обычно такое округление не применяется к электронным безналичным платежам.

Напротив, округление половины до четного является стратегией по умолчанию для Python, Numpy и Pandas и используется встроенной функцией round () , которая уже упоминалась ранее.Он принадлежит к категории методов округления до ближайшего и известен также как конвергентное округление, округление статистики, округление по голландскому языку, округление по Гауссу, округление по нечетному и четному и округление банкиров. Этот метод определен в IEEE 754 и работает таким образом, что «если дробная часть x равна 0,5, то y является четным целым числом, ближайшим к x ». Предполагается, что «вероятности связи в наборе данных при округлении в меньшую или большую сторону равны», что обычно и имеет место на практике.Хотя эта стратегия не полностью совершенна, она дает заметные результаты.

В таблице ниже приведены практические примеры округления для этого метода:

  | исходное значение | округлено до |
| ---------------- | ------------ |
| 23,3 | 23 |
| 23,5 | 24 |
| 24,0 | 24 |
| 24,5 | 24 |
| 24,8 | 25 |
| 25,5 | 26 |
  

Функции Python

Python имеет встроенную функцию round () , которая очень полезна в нашем случае.Он принимает два параметра — исходное значение и количество цифр после десятичной точки. В листинге ниже показано использование метода для одной, двух и четырех цифр после десятичной точки.

Листинг 4: Округление с указанным количеством цифр

  >>> круглый (15.45625, 1)
15.5
>>> круглый (15.45625, 2)
15,46
>>> круглый (15.45625, 4)
15.4563
  

Если вы вызываете эту функцию без второго параметра, значение округляется до полного целого числа.

  • Возврат средств без вопросов в течение 30 дней
  • От начального до продвинутого
  • Регулярно обновляется (обновление июнь 2021 г.)
  • Новые бонусные ресурсы и руководства

Листинг 5: Округление без указанного количества цифр

  >>> круглый (0,85)
1
>>> круглый (0,25)
0
>>> круглый (1.5)
2
  

Округленные значения подходят, если вам не нужны абсолютно точные результаты. Имейте в виду, что сравнение округленных значений также может быть кошмаром.Это станет более очевидным в следующем примере — сравнении округленных значений на основе предварительного и последующего округления.

Первое вычисление Листинг 6 содержит предварительно округленные значения и описывает округление перед сложением значений. Второй расчет содержит итоговую сумму после округления, что означает округление после суммирования. Вы заметите, что результат сравнения другой.

Листинг 6: Предварительное округление и последующее округление

  >>> круглый (0.3, 10) + круглое (0,3, 10) + круглое (0,3, 10) == круглое (0,9, 10)
Ложь
>>> круглый (0,3 + 0,3 + 0,3, 10) == круглый (0,9, 10)
Правда
  

Модули Python для вычислений с плавающей запятой

Существует четыре популярных модуля, которые могут помочь вам правильно работать с числами с плавающей запятой. Это включает модуль math , модуль Numpy , модуль decimal и модуль дробей .

Модуль math сосредоточен вокруг математических констант, операций с плавающей запятой и тригонометрических методов.Модуль Numpy описывает себя как «фундаментальный пакет для научных вычислений» и известен своим разнообразием методов работы с массивами. Модуль decimal охватывает десятичную арифметику с фиксированной и плавающей запятой, а модуль fractions имеет дело, в частности, с рациональными числами.

Во-первых, мы должны попытаться улучшить расчет из Листинга 1 . Как показано в листинге 7 , после импорта модуля math мы можем получить доступ к методу fsum () , который принимает список чисел с плавающей запятой.Для первого расчета нет разницы между встроенным методом sum () и методом fsum () из модуля math , но для второго — это так, и он возвращает правильный результат. ожидать. Точность зависит от базового алгоритма IEEE 754.

Листинг 7: Вычисления с плавающей запятой с помощью модуля math

  >>> импорт математики
>>> sum ([0.1, 0.1, 0.1])
0.30000000000000004
>>> math.fsum ([0.1, 0.1, 0.1])
0,30000000000000004
>>> sum ([0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1])
0,9999999999999999
>>> math.fsum ([0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,1])
1.0
  

Во-вторых, давайте посмотрим на модуль Numpy . Он поставляется с методом around (), который округляет значения, предоставленные в виде массива. Он обрабатывает отдельные значения так же, как метод round () по умолчанию.

Для сравнения значений Numpy предлагает метод equal () .Подобно around () , он принимает отдельные значения, а также списки значений (так называемые векторы) для обработки. В листинге 8 показано сравнение отдельных значений, а также округленных значений. Наблюдаемое поведение очень похоже на ранее показанные методы.

Листинг 8: Сравнение значений с использованием метода равенства из модуля Numpy

  >>> import numpy
>>> print (numpy.equal (0.3, 0.3))
Правда
>>> print (numpy.равно (0,3 + 0,3 + 0,3, 0,9))
Ложь
>>> print (numpy.equal (круглый (0,3 + 0,3 + 0,3), круглый (0,9)))
Правда
  

Третий вариант — десятичный модуль . Он предлагает точное десятичное представление и сохраняет значащие цифры. По умолчанию точность составляет 28 цифр, и вы можете изменить это значение на число, которое будет настолько большим, насколько это необходимо для вашей проблемы. В листинге 9 показано, как использовать точность до 8 цифр.

Листинг 9: Создание десятичных чисел с помощью модуля decimal

  >>> импортировать десятичный
>>> десятичный.getcontext (). prec = 8
>>> a = десятичный. десятичный (1)
>>> b = десятичный. десятичный (7)
>>> а / б
Десятичный ('0,14285714')
  

Теперь сравнение значений с плавающей запятой стало намного проще и привело к тому результату, который мы искали.

Листинг 10: Сравнение с использованием десятичного модуля

  >>> импортировать десятичный
>>> decimal.getcontext (). prec = 1
>>> a = десятичный. десятичный (0,3)
>>> b = десятичный.Десятичный (0,3)
>>> c = десятичный. десятичный (0,3)
>>> а + б + с
Десятичный ('0,9')
>>> a + b + c == десятичное. десятичное ('0,9')
Правда
  

Модуль decimal также имеет метод округления значений — quantize (). Стратегия округления по умолчанию — округление от половины до четного, и при необходимости ее также можно изменить на другой метод. В листинге 11 показано использование метода quantize () . Обратите внимание, что количество цифр указывается с использованием десятичного значения в качестве параметра.

Листинг 11: Округление значения с помощью quantize ()

  >>> d = десятичное. Десятичное (4.6187)
>>> d.quantize (десятичное. Десятичное ("1.00"))
Десятичный ('4.62')
  

И последнее, но не менее важное: мы рассмотрим модуль фракций . Этот модуль позволяет обрабатывать значения с плавающей запятой как дроби, например 0,3 как 3/10. Это упрощает сравнение значений с плавающей запятой и полностью исключает округление значений. В листинге 12 показано, как использовать модуль дробей.

Листинг 12: Хранение и сравнение значений с плавающей запятой в виде дробей

  >>> импортные фракции
>>> фракции.Fraction (4, 10)
Дробь (2, 5)
>>> фракции.Fraction (6, 18)
Дробь (1, 3)
>>> фракции.Дробь (125)
Дробь (125, 1)
>>> a = дроби. дробь (6, 18)
>>> b = дроби. дробь (1, 3)
>>> а == б
Правда
  

Кроме того, два модуля десятичной и дробной могут быть объединены, как показано в следующем примере.

Листинг 13: Работа с десятичными и дробными числами

  >>> импортные фракции
>>> импортировать десятичный
>>> a = дроби.Дробь (1,10)
>>> b = дроби.Дробь (десятичное.Десятичное (0,1))
>>> а, б
(Дробь (1, 10), Дробь (3602879701896397, 36028797018963968))
>>> а == б
Ложь
  

Заключение

Правильное хранение и обработка значений с плавающей запятой — это непростая задача, требующая большого внимания со стороны программистов.Округление значений может помочь, но обязательно проверьте правильный порядок округления и метод, который вы используете. Это наиболее важно при разработке таких вещей, как финансовое программное обеспечение, поэтому вы захотите проверить правила местного законодательства на предмет округления.

Python предоставляет вам все необходимые инструменты и поставляется с «батареями в комплекте». Удачного взлома!

Благодарности

Автор благодарит Золеку Хофманн за ее критические комментарии при подготовке статьи.

округление — Викисловарь

Английский [править]

Произношение [править]

  • (Великобритания, США) IPA (ключ) : / ˈɹaʊndɪŋ /
  • Расстановка переносов: округление

Прилагательное [править]

округление ( сравнительное большее округление , превосходное наибольшее округление )

  1. Круглый или почти круглый; становится круглым; округлый.
    • 1851 14 ноября, Герман Мелвилл, «Рыцари и оруженосцы», в Моби-Дик; или The Whale , 1-е американское издание, Нью-Йорк, Н.Ю .: Харпер и братья; Лондон: Ричард Бентли, OCLC 57395299 , стр. 131:

      Длинные, худые, соболиные волосы Таштего, его высокие скулы и черные округляющие глаза — […] все это достаточно показало, что он унаследовал неотправленную кровь. тех гордых воинов-охотников, которые в поисках великого лося Новой Англии прочесали, с луком в руке, коренные леса основных лесов.

Переводы [править]

круглые или почти круглые; становится круглым; округлая

Существительное [править]

округление ( счетное и несчетное , множественное число округление )

  1. Действие округления числового значения.
  2. Числовое значение, полученное в результате этого процесса.
  3. Акт округления чего-либо, например, губ при произнесении некоторых гласных.
  4. Закругленная поверхность; кривая.
    • 1860 , Журнал Общества искусств (том 8, стр. 292)
      В ранних египетских работах рельеф был низким, поверхность плоская, и очень мало, если вообще было предпринято, попыток показать округления человеческой фигуры или показать изгиб человеческой формы.
  5. В переплетном деле — придание изогнутых и сшитых листов выпуклой формы сзади.
Производные термины [править]
Связанные термины [править]
Переводы [править]

Акт округления математического значения

округление губ

Глагол [править]

округление

  1. настоящее причастие раунда

Анаграммы [править]

.