Содержание

рекурсивный — это… Что такое рекурсивный?

  • рекурсивный — прил., кол во синонимов: 1 • общерекурсивный (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • рекурсивный — ая, ое. recursif adj., нем. rekursiv <лат. recursio мат. Такой, значение которого для данного аргумента исчисляется с помощью значений для предшествующих аргументов. ♦ Рекурсивная функция. Крысин 1998. Лекс. БСЭ 3: рекурси/вный …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • рекурсивный — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN recursive …   Справочник технического переводчика

  • рекурсивный — рекурсивный, рекурсивная, рекурсивное, рекурсивные, рекурсивного, рекурсивной, рекурсивного, рекурсивных, рекурсивному, рекурсивной, рекурсивному, рекурсивным, рекурсивный, рекурсивную, рекурсивное, рекурсивные, рекурсивного, рекурсивную,… …   Формы слов

  • рекурсивный — См. ricorsivo …   Пятиязычный словарь лингвистических терминов

  • Рекурсивный — (от лат. recursio возвращение) возвращающий к прошлому, к предшествующему; рекурсивные функции функции, значения которых для данного аргумента вычисляются с помощью значений для предшествующих аргументов. В 1931 году австрийский математик и логик …   Начала современного естествознания

  • рекурсивный — рекурс ивный; кратк. форма вен, вна …   Русский орфографический словарь

  • рекурсивный — …   Орфографический словарь русского языка

  • рекурсивный — Syn: см. рекуррентный …   Тезаурус русской деловой лексики

  • Рекурсивный акроним — Рекурсивный акроним  акроним (иногда бэкроним), который ссылается на себя. В среде компьютерных хакеров стало традиционным выбирать акронимы и аббревиатуры, которые косвенно или напрямую ссылаются на себя. Одним из самых ранних примеров… …   Википедия

  • Слово РЕКУРСИВНЫЙ — Что такое РЕКУРСИВНЫЙ?

    Слово состоит из 11 букв: первая р, вторая е, третья к, четвёртая у, пятая р, шестая с, седьмая и, восьмая в, девятая н, десятая ы, последняя й,

    Слово рекурсивный английскими буквами(транслитом) — rekrsivnyi

    Значения слова рекурсивный. Что такое рекурсивный?

    Рекурсивный

    Рекурсивный (от лат. recursio — возвращение) — возвращающий к прошлому, к предшествующему; рекурсивные функции — функции, значения которых для данного аргумента вычисляются с помощью значений для предшествующих аргументов.

    Начала современного естествознания. — 2006

    Рекурсивный МНК

    Также получающиеся в результате применения рекурсивного МНК (рекурсивные остатки) используются при тестировании стабильности параметров модели.

    ru.wikipedia.org

    Рекурсивный заем

    Рекурсивный заем (1) Заем, при котором уполномочивающее лицо, или гарант, несет ответственность в случае, если должник не производит платежа. (2) Заем…

    Финансово-инвестиционный словарь. — 2002

    Рекурсивный язык

    В математической логике и информатике рекурсивный язык — тип формального языка, также называемый разрешимым или разрешимым по Тьюрингу. Класс всех рекурсивных языков часто обозначается через R…

    ru.wikipedia.org

    Рекурсивная модель

    Рекурсивная модель [recursive model] — динамическая модель, обладающая математическим свойством рекурсии. Это значит, что если даны, например, все переменные модели до момента (t-1)…

    slovar-lopatnikov.ru

    РЕКУРСИВНАЯ МОДЕЛЬ [recursive model] — динамическая модель, обладающая математическим свойством рекурсии. Это значит, что если даны, напр., все переменные модели до момента (t–1)…

    Лопатников. — 2003

    Рекурсивный акроним

    Рекурсивный акроним — акроним (иногда бэкроним), который ссылается на себя. В среде компьютерных хакеров стало традиционным выбирать акронимы и аббревиатуры, которые косвенно или напрямую ссылаются на себя.

    ru.wikipedia.org

    РЕКУРСИВНЫЙ АКРОНИМ. Акроним (иногда бэкроним), который ссылается на себя. В среде компьютерных хакеров стало традиционным выбирать акронимы и аббревиатуры, которые косвенно или напрямую ссылаются на себя.

    Бизнес-словарь

    Рекурсивное определение

    Рекурсивное определение или индуктивное определение определяет сущность в терминах её самой (то есть рекурсивно), хотя и полезным способом. Для того, чтобы это было возможно, определение в любом данном случае должно быть хорошо-основанным…

    ru.wikipedia.org

    РЕКУРСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ — часто применяемый в математике способ задания функций, при к-ром значение искомой функции в данной точке определяется через ее значения в предшествующих точках (при подходящем отношении предшествования).

    Математическая энциклопедия. — 1977-1985

    РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

    РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео-рии рекурсивных функций, в к-ром рассматриваются и классифицируются подмножества натуральных чисел с алгоритмич. точки зрения, а также исследуются структуры, возникающие в результате такой классификации.

    Математическая энциклопедия. — 1977-1985

    РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДИКА́ТЫ

    РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДИКА́ТЫ — один из важнейших для оснований математики и математич. логики классов понятий, служащих уточнениями содержат. понятий эффективно вычислимой арифметической функции и эффективно разрешимого арифметического предиката…

    Философская энциклопедия

    Рекурсивная функция (теория вычислимости)

    Рекурсивные функции (от позднелатинского recursio — возвращение), название, закрепившееся за одним из наиболее распространённых вариантов уточнения общего понятия арифметического алгоритма, т.е. такого алгоритма…

    БСЭ. — 1969—1978

    Термин рекурсивная функция в теории вычислимости используется для обозначения трёх классов функций примитивно рекурсивные функции; общерекурсивные функции; частично рекурсивные функции. Последние совпадают с классом вычислимых по Тьюрингу функций.

    ru.wikipedia.org

    РЕКУРСИВНАЯ ФУНКЦИЯ — ч а с т и ч н о р е к у р с и в н а я ф у н к ц и я,- одно из математич. уточнений интуитивного понятия вычислимой функции, определяемое следующим образом.

    Математическая энциклопедия. — 1977-1985

    Русский язык

    Рекурси́вный; кр. ф. -вен, -вна.

    Орфографический словарь. — 2004

    1. рекуперация
    2. рекуррентный
    3. рекурсивные
    4. рекурсивный
    5. рекурсия
    6. релаксант
    7. релаксатор

    Рекурсия, рекурсивный процесс и итеративный процесс

    Рекурсия vs. какой-то процесс

    Давайте для начала явно отметим отличие рекурсии (в общем смысле) от процесса. Эти понятия никак не связаны. Рекурсия — просто абстрактная концепция, которую можно наблюдать в природе, которая используется в математике и в других областях. Такая же абстрактная, как, например, музыкальная гармония.


    пример рекурсии: художник рисует картину, в которой он рисует картину, в которой он рисует картину…

    Теперь на секунду забудем про рекурсию, и просто подумаем про компьютеры. Для выполнения задач компьютерам нужны инструкции. Когда компьютер выполняет набор инструкций — это процесс. Ваш работающий сейчас браузер — это

    процесс. Простой цикл, выводящий на экран десять раз число «42» — это процесс. Некоторые задачи можно решать рекурсивно, то есть в инструкциях использовать эту концепцию, когда что-то является частью самого себя. В частности, функция может быть частью самой себя, то есть вызывать саму себя.

    Есть два метода решения задач с использованием рекурсии: рекурсивный процесс и итеративный процесс. Рекурсия в них не отличается: в каждом из подходов функция вызывает саму себя, рекурсивно. Отличаются способы использования идеи рекурсии.

    Если продолжить аналогию с музыкальной гармонией, то можно подумать про фортепиано. При написании музыки можно использовать эту концепцию — «гармонию звуков». И можно придумать разные способы: рассчитывать частоты звуков (ноты) математическими формулами или рассчитывать правильные расстояния между клавишами. Я в детстве научился находить правильные расстояния между клавишами на фортепиано, и получал гармоничные комбинации звуков, но понятия не имел, что это за ноты. А профессиональный музыкант знает теорию и подбирает гармонию другими методами. В любом случае, гармония есть гармония, эта концепция не меняется, меняются лишь

    способы ее использования.

    В чем отличие итеративного процесса от рекурсивного?

    Главная фишка в аккумуляторе или, иными словами, в запоминании.

    Рекурсивный процесс постоянно говорит «я это запомню и потом посчитаю» на каждом шаге рекурсии. «Потом» наступает в самом конце.

    • Когда рекурсивный процесс считает факториал 6, то ему нужно запомнить 5 чисел чтобы посчитать их в самом конце, когда уже никуда не деться и рекурсивно двигаться вниз больше нельзя.
    • Когда мы находимся в очередном вызове функции, то где-то снаружи этого вызова в памяти хранятся эти запомненные числа.


    тут прямо физически видно, как растет использование памяти: процессу нужно запоминать все больше и больше чисел

    Рекурсивный процесс — это процесс с отложенным вычислением.

    Итеративный процесс постоянно говорит «я сейчас посчитаю все что можно и продолжу» на каждом шаге рекурсии. Ему не нужно ничего запоминать вне вызова, он всегда считает все в первый возможный момент, и каждый шаг рекурсии может существовать в изоляции от прошлых, потому что вся информация передается из шага в шаг.

    • Когда итеративный процесс считает факториал 6, то ему не нужно запоминать числа. Нужно лишь считать и передавать результат дальше, в новый вызов.
    • Когда мы находимся в очередном вызове функции, снаружи этого вызова в памяти ничего не нужно запоминать.


    тут видно, что использование памяти не растет


    Рекурсивный процесс это чувак, который все дела откладывает на вечер пятницы. В течение недели у него мало работы, а в пятницу завал. Но ему так нравится 🙂

    Итеративный процесс это чувак, который все делает при первой возможности. У него работа равномерно распределена по неделе, а пятница — просто обычный день, но последний.


    Tail call optimization

    Отмотаем назад и рассмотрим во взаимосвязи два утверждения относительно рекурсивных функций, использующих итеративный процесс:

    • Во-первых, такие функции являются рекурсивными. Это значит, что для каждого (очередного) рекурсивного вызова в стек вызовов записывается вся информация, связанная с этим конкретным вызовом (параметры функции и её локальные переменные, адрес возврата в точку вызова). Т.е. выделяется дополнительная область памяти (лексический контекст функции, область видимости), обслуживающая данный рекурсивный вызов, а так как это стек вызовов, то контексты предыдущих рекурсивных вызовов также продолжают занимать память. Достижение большой глубины рекурсии (или же если она вовсе является бесконечной, т.е. не достигается терминальное условие выхода из рекурсии) приводит к переполнению стека (ведь он ограничен в размерах) и аварийному завершению всей программы.
    • Во-вторых, в контексте каждого очередного рекурсивного вызова такой функции хранится вся необходимая информация для его успешного выполнения. Он самодостаточен и никак не зависит от предыдущих контекстов (помните, «этот чувак ничего не откладывает на потом, на вечер пятницы…«?!). В наших практиках на Хекслете мы реализовывали такое поведения благодаря использованию аккумулятора acc, передающегося в качестве аргумента из одного вызова в другой и накапливающего в себе результат вычисления необходимого значения. Получается, что, грубо говоря, на каком бы по уровню вложенности рекурсивном вызове мы не находились, все предыдущие уже не имеют значения и являются «бесполезной обузой», нагружающей память. В т.ч. это распространяется и на самый последний рекурсивный вызов (где срабатывает терминальное условие), который сразу готов вернуть готовое вычисленное значение из функции, ему не нужны для этого предыдущие контексты в стеке.

    Читайте также:

    Язык программирования Ruby: особенности, перспективы, рынок труда

    Отсюда напрашивается вопрос, как использовать рассмотренные преимущества итеративного процесса и одновременно избавиться от недостатка рекурсивных функций, т.е. от неумолимого роста использования памяти. И сразу же нарисовывается ответ — избавить процесс от заполнения стека «ненужными» контекстами предыдущих вызовов и обеспечить прямой возврат из функции при достижении терминального условия. Для этого служит так называемая Tail call optimization, или оптимизация хвостовой рекурсии (рассмотренный выше итеративный процесс как раз можно отнести к хвостовой рекурсии). Благодаря оптимизации состояния стека, она придаёт итеративному процессу вид «плоской» итерации (см. картинку выше), исключается его переполнение из-за большой глубины рекурсии.

    Хвостовая рекурсия (и её оптимизация) широко используется при написании программ на функциональных языках программирования.

    Простыми словами о рекурсии. В программировании рекурсия, или же… | by Артур Хайбуллин | NOP::Nuances of Programming

    В программировании рекурсия, или же рекурсивная функция — это такая функция, которая вызывает саму себя.

    Рекурсию также можно сравнить с матрёшкой. Первая кукла самая большая, за ней идёт точно такая же кукла, но поменьше. Суть матрёшки состоит в том, что вы можете открывать её и доставать из неё точно такую же куклу, только немного меньше. Такой продолжительный процесс длится до тех пор, пока вы не дойдёте до последней куклы, которая и прервёт цикл. Так выглядит визуальная репрезентация рекурсии.

    Матрёшка — Gif Tenor

    Да, такой исход вполне возможен. Однако, как и у функции for или while, рекурсию можно прервать условием break, чтобы функция перестала вызывать саму себя.

    Вот пример кода того, как можно реализовать функцию обратного отсчёта с использованием рекурсии:

    function countDown(n){
    console.log(n)if(n > 1){
    countDown(n -1) // вызов рекурсии
    } else {
    return true // основное действие
    }
    }
    countDown(5)// 5
    // 4
    // 3
    // 2
    // 1
    countDown(-1)
    // - 1 // true

    Как прервать рекурсию:

    Допустим, у нас имеется функция CountDown, которая принимает аргумент (n). Чтобы реализовать обратный отсчёт, нам следует повторить последовательность действий, понижающих значение параметра. Создадим условие вида:

    Если (n) больше 1, то вызвать функцию CountDownи вернуться в начало цикла, затем вычесть единицу и снова проверить, выполняется ли условие (n) > 1.

    По умолчанию нам нужно создать базовое условие функции, возвращающее значение true, чтобы предотвратить попадание в бесконечный цикл. Базовым условием функции здесь будет условие о том, что любое значение больше 1 не вызовет прерывание цикла.

    Проще говоря, рекурсия делает то же, что и код ниже:

    countDown(5)
    countDown(4)
    countDown(3)
    countDown(2)
    countDown(1)
    return
    return
    return
    return
    return

    Чтобы правильно описать плюсы и минусы, давайте взглянем на производительность рекурсии.

    Плюсы:

    • Рекурсивный код снижает время выполнения функции.

    Под этим подразумевается, что рекурсии, в сравнении с циклами, тратят меньше времени до завершения функции. Чем меньше строк кода у нас будет, тем быстрее функция будет обрабатывать вызовы внутри себя. Особенно хорошо это проявляется при буферизации данных, что позволяет оптимизировать и ускорить код.

    В программировании мемоизация — это метод сохранения результатов выполнения функций для предотвращения повторных вычислений. Это один из способов оптимизации, применяемый для увеличения скорости выполнения программ. — Википедия

    И всё же стоит отметить, что рекурсия не всегда выигрывает по скорости по сравнению с циклами.

    • Рекурсию легче отлаживать.

    Многие согласятся, что эта причина очень важна. Рекурсия проста в отладке из-за того, что она не содержит сложных и длинных конструкций.

    Минусы:

    • Рекурсивные функции занимают много места.

    Рекурсивные функции занимают значительный объём памяти во время своего выполнения. Это означает, что при каждом вызове функции в стек будет добавляться новый элемент, который будет занимать место до тех пор, пока функция не завершит работу, найдя ответ, либо пока не дойдёт до выполнения базового условия функции.

    • Рекурсивные функции замедляют программу.

    Несмотря на то, что уже было сказано про мемоизацию, наш код можно ускорить, если применить циклы for или while. Помимо того, что функция может быть попросту плохо написана, мы также рискуем переполнить стек, что в конечном итоге приведёт к снижению скорости и программным ошибкам.

    Стек — это такая структура данных, которая работает по принципу «Last In, First Out» (последним пришёл — первым ушёл). Таким образом, элемент «проталкивается» в стек и добавляется в его конец, а затем «выталкивается» из стека при удалении.

    Стеки замечательны тем, что они очень быстрые. Большое «О» этого алгоритма равно O(1). Такая результативность объясняется тем, что при рекурсиях не используются циклы, вместо них используются функции pop(), push() и empty().

    Визуализация стека

    Оба этих метода одинаково эффективны для решения задач, однако выбор одного из них зависит от типа проблемы, поставленной перед вами.

    Рекурсии эффективны тогда, когда вы работаете с данными, которые слишком сложны, чтобы пройтись по ним с помощью обычных циклов. Стоит также не забывать о ценности памяти и уменьшении времени, идущем вкупе с рекурсивной функцией, в которой накопилось слишком много элементов.

    Циклы так же эффективны в плане скорости и оптимизации, они занимают меньше памяти в стеке и их легче понять, потому что в теле цикла содержится больше информации о том, что происходит внутри.

    Читайте также:

    Читайте нас в Telegram, VK и Яндекс.Дзен

    Простыми словами о рекурсии

    В программировании рекурсия, или же рекурсивная функция — это такая функция, которая вызывает саму себя.

    Рекурсию также можно сравнить с матрёшкой. Первая кукла самая большая, за ней идёт точно такая же кукла, но поменьше. Суть матрёшки состоит в том, что вы можете открывать её и доставать из неё точно такую же куклу, только немного меньше. Такой продолжительный процесс длится до тех пор, пока вы не дойдёте до последней куклы, которая и прервёт цикл. Так выглядит визуальная репрезентация рекурсии.

    Матрёшка — Gif Tenor

    Не приведёт ли рекурсивная функция к бесконечному циклу?

    Да, такой исход вполне возможен. Однако, как и у функции for или while, рекурсию можно прервать условием break, чтобы функция перестала вызывать саму себя.

    Вот пример кода того, как можно реализовать функцию обратного отсчёта с использованием рекурсии:

    function countDown(n){
    console.log(n)
    
    if(n > 1){
        countDown(n -1) // вызов рекурсии
    } else {
        return true // основное действие
      }
    }
    countDown(5)
    
    // 5
    // 4
    // 3
    // 2
    // 1
    countDown(-1)
    // - 1 
    
    // true
    Как прервать рекурсию:

    Допустим, у нас имеется функция CountDown, которая принимает аргумент (n). Чтобы реализовать обратный отсчёт, нам следует повторить последовательность действий, понижающих значение параметра. Создадим условие вида:

    Если (n) больше 1, то вызвать функцию CountDownи вернуться в начало цикла, затем вычесть единицу и снова проверить, выполняется ли условие (n) > 1.

    По умолчанию нам нужно создать базовое условие функции, возвращающее значение true, чтобы предотвратить попадание в бесконечный цикл. Базовым условием функции здесь будет условие о том, что любое значение больше 1 не вызовет прерывание цикла.

    Проще говоря, рекурсия делает то же, что и код ниже:

    countDown(5)
     countDown(4)
      countDown(3)
       countDown(2)
        countDown(1)
        return
       return
      return
     return
    return

    Плюсы и минусы рекурсивных функций

    Чтобы правильно описать плюсы и минусы, давайте взглянем на производительность рекурсии.

    Плюсы:
    • Рекурсивный код снижает время выполнения функции.

    Под этим подразумевается, что рекурсии, в сравнении с циклами, тратят меньше времени до завершения функции. Чем меньше строк кода у нас будет, тем быстрее функция будет обрабатывать вызовы внутри себя. Особенно хорошо это проявляется при буферизации данных, что позволяет оптимизировать и ускорить код.

    В программировании мемоизация — это метод сохранения результатов выполнения функций для предотвращения повторных вычислений. Это один из способов оптимизации, применяемый для увеличения скорости выполнения программ. — Википедия

    И всё же стоит отметить, что рекурсия не всегда выигрывает по скорости по сравнению с циклами.

    • Рекурсию легче отлаживать.

    Многие согласятся, что эта причина очень важна. Рекурсия проста в отладке из-за того, что она не содержит сложных и длинных конструкций.

    Минусы:
    • Рекурсивные функции занимают много места.

    Рекурсивные функции занимают значительный объём памяти во время своего выполнения. Это означает, что при каждом вызове функции в стек будет добавляться новый элемент, который будет занимать место до тех пор, пока функция не завершит работу, найдя ответ, либо пока не дойдёт до выполнения базового условия функции.

    • Рекурсивные функции замедляют программу.

    Несмотря на то, что уже было сказано про мемоизацию, наш код можно ускорить, если применить циклы for или while. Помимо того, что функция может быть попросту плохо написана, мы также рискуем переполнить стек, что в конечном итоге приведёт к снижению скорости и программным ошибкам.

    Что такое «стек»?

    Стек — это такая структура данных, которая работает по принципу «Last In, First Out» (последним пришёл — первым ушёл). Таким образом, элемент «проталкивается» в стек и добавляется в его конец, а затем «выталкивается» из стека при удалении.

    Стеки замечательны тем, что они очень быстрые. Большое «О» этого алгоритма равно O(1). Такая результативность объясняется тем, что при рекурсиях не используются циклы, вместо них используются функции pop(), push() и empty().

    Визуализация стека

    Стоит ли использовать рекурсии вместо обычных циклов?

    Оба этих метода одинаково эффективны для решения задач, однако выбор одного из них зависит от типа проблемы, поставленной перед вами.

    Рекурсии эффективны тогда, когда вы работаете с данными, которые слишком сложны, чтобы пройтись по ним с помощью обычных циклов. Стоит также не забывать о ценности памяти и уменьшении времени, идущем вкупе с рекурсивной функцией, в которой накопилось слишком много элементов.

    Циклы так же эффективны в плане скорости и оптимизации, они занимают меньше памяти в стеке и их легче понять, потому что в теле цикла содержится больше информации о том, что происходит внутри.

    Читайте также:

    Читайте нас в Telegram, VK и Яндекс.Дзен


    Перевод статьи Akiko Green: Recursion!… But Make It Simplified

    Интерактивный учебник языка Python

    1. Функции

    Напомним, что в математике факториал числа n определяется как n! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n. Например, 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120. Ясно, что факториал можно легко посчитать, воспользовавшись циклом for. Представим, что нам нужно в нашей программе вычислять факториал разных чисел несколько раз (или в разных местах кода). Конечно, можно написать вычисление факториала один раз, а затем используя Copy-Paste вставить его везде, где это будет нужно.

    	
    # вычислим 3!
    res = 1
    for i in range(1, 4):
        res *= i
    print(res)
    
    # вычислим 5!
    res = 1
    for i in range(1, 6):
        res *= i
    print(res)

    Однако, если мы ошибёмся один раз в начальном коде, то потом эта ошибка попадёт в код во все места, куда мы скопировали вычисление факториала. Да и вообще, код занимает больше места, чем мог бы. Чтобы избежать повторного написания одной и той же логики, в языках программирования существуют функции.

    Функции — это такие участки кода, которые изолированы от остальный программы и выполняются только тогда, когда вызываются. Вы уже встречались с функциями sqrt(), len() и print(). Они все обладают общим свойством: они могут принимать параметры (ноль, один или несколько), и они могут возвращать значение (хотя могут и не возвращать). Например, функция sqrt() принимает один параметр и возвращает значение (корень числа). Функция print() принимает переменное число параметров и ничего не возвращает.

    Покажем, как написать функцию factorial(), которая принимает один параметр — число, и возвращает значение — факториал этого числа.

    	
    def factorial(n):
        res = 1
        for i in range(1, n + 1):
            res *= i
        return res
    
    print(factorial(3))
    print(factorial(5))

    Дадим несколько объяснений. Во-первых, код функции должен размещаться в начале программы, вернее, до того места, где мы захотим воспользоваться функцией factorial(). Первая строчка этого примера является описанием нашей функции. factorial — идентификатор, то есть имя нашей функции. После идентификатора в круглых скобках идет список параметров, которые получает наша функция. Список состоит из перечисленных через запятую идентификаторов параметров. В нашем случае список состоит из одной величины n. В конце строки ставится двоеточие.

    Далее идет тело функции, оформленное в виде блока, то есть с отступом. Внутри функции вычисляется значение факториала числа n и оно сохраняется в переменной res. Функция завершается инструкцией return res, которая завершает работу функции и возвращает значение переменной res.

    Инструкция return может встречаться в произвольном месте функции, ее исполнение завершает работу функции и возвращает указанное значение в место вызова. Если функция не возвращает значения, то инструкция return используется без возвращаемого значения. В функциях, которым не нужно возвращать значения, инструкция return может отсутствовать.

    Приведём ещё один пример. Напишем функцию max(), которая принимает два числа и возвращает максимальное из них (на самом деле, такая функция уже встроена в Питон).

    10
    20
    def max(a, b):
        if a > b:
            return a
        else:
            return b
    
    print(max(3, 5))
    print(max(5, 3))
    print(max(int(input()), int(input())))

    Теперь можно написать функцию max3(), которая принимает три числа и возвращает максимальное их них.

    	
    def max(a, b):
        if a > b:
            return a
        else:
            return b
    
    def max3(a, b, c):
        return max(max(a, b), c)
    
    print(max3(3, 5, 4))
    Встроенная функция max() в Питоне может принимать переменное число аргументов и возвращать максимум из них. Приведём пример того, как такая функция может быть написана.
    	
    def max(*a):
        res = a[0]
        for val in a[1:]:
            if val > res:
                res = val
        return res
    
    print(max(3, 5, 4))
    Все переданные в эту функцию параметры соберутся в один кортеж с именем a, на что указывает звёздочка в строке объявления функции.

    2. Локальные и глобальные переменные

    Внутри функции можно использовать переменные, объявленные вне этой функции

    	
    def f():
        print(a)
    
    a = 1
    f()

    Здесь переменной a присваивается значение 1, и функция f() печатает это значение, несмотря на то, что до объявления функции f эта переменная не инициализируется. В момент вызова функции f() переменной a уже присвоено значение, поэтому функция f() может вывести его на экран.

    Такие переменные (объявленные вне функции, но доступные внутри функции) называются глобальными.

    Но если инициализировать какую-то переменную внутри функции, использовать эту переменную вне функции не удастся. Например:

    	
    def f():
        a = 1
    
    f()
    print(a)

    Получим ошибку NameError: name 'a' is not defined. Такие переменные, объявленные внутри функции, называются локальными. Эти переменные становятся недоступными после выхода из функции.

    Интересным получится результат, если попробовать изменить значение глобальной переменной внутри функции:

    	
    def f():
        a = 1
        print(a)
    
    a = 0
    f()
    print(a)

    Будут выведены числа 1 и 0. Несмотря на то, что значение переменной a изменилось внутри функции, вне функции оно осталось прежним! Это сделано в целях “защиты” глобальных переменных от случайного изменения из функции. Например, если функция будет вызвана из цикла по переменной i, а в этой функции будет использована переменная i также для организации цикла, то эти переменные должны быть различными. Если вы не поняли последнее предложение, то посмотрите на следующий код и подумайте, как бы он работал, если бы внутри функции изменялась переменная i.

    	
    def factorial(n):
        res = 1
        for i in range(1, n + 1):
            res *= i
        return res
    
    for i in range(1, 6):
        print(i, '! = ', factorial(i), sep='')
    Если бы глобальная переменная i изменялась внутри функции, то мы бы получили вот что:
    5! = 1
    5! = 2
    5! = 6
    5! = 24
    5! = 120
    Итак, если внутри функции модифицируется значение некоторой переменной, то переменная с таким именем становится локальной переменной, и ее модификация не приведет к изменению глобальной переменной с таким же именем.

    Более формально: интерпретатор Питон считает переменную локальной для данной функции, если в её коде есть хотя бы одна инструкция, модифицирующая значение переменной, то эта переменная считается локальной и не может быть использована до инициализации. Инструкция, модифицирующая значение переменной — это операторы =, +=, а также использование переменной в качестве параметра цикла for. При этом даже если инструкция, модицифицирующая переменную никогда не будет выполнена, интерпретатор это проверить не может, и переменная все равно считается локальной. Пример:

    	
    def f():
        print(a)
        if False:
            a = 0
    
    a = 1
    f()

    Возникает ошибка: UnboundLocalError: local variable 'a' referenced before assignment. А именно, в функции f() идентификатор a становится локальной переменной, т.к. в функции есть команда, модифицирующая переменную a, пусть даже никогда и не выполняющийся (но интерпретатор не может это отследить). Поэтому вывод переменной a приводит к обращению к неинициализированной локальной переменной.

    Чтобы функция могла изменить значение глобальной переменной, необходимо объявить эту переменную внутри функции, как глобальную, при помощи ключевого слова global:

    	
    def f():
        global a
        a = 1
        print(a)
    
    a = 0
    f()
    print(a)

    В этом примере на экран будет выведено 1 1, так как переменная a объявлена, как глобальная, и ее изменение внутри функции приводит к тому, что и вне функции переменная будет доступна.

    Тем не менее, лучше не изменять значения глобальных переменных внутри функции. Если ваша функция должна поменять какую-то переменную, пусть лучше она вернёт это значением, и вы сами при вызове функции явно присвоите в переменную это значение. Если следовать этим правилам, то функции получаются независимыми от кода, и их можно легко копировать из одной программы в другую.

    Например, пусть ваша программа должна посчитать факториал вводимого числа, который вы потом захотите сохранить в переменной f. Вот как это не стоит делать:

    5
    def factorial(n):
        global f
        res = 1
        for i in range(2, n + 1):
            res *= i
        f = res
    
    n = int(input())
    factorial(n)
    # дальше всякие действия с переменной f

    Этот код написан плохо, потому что его трудно использовать ещё один раз. Если вам завтра понадобится в другой программе использовать функцию «факториал», то вы не сможете просто скопировать эту функцию отсюда и вставить в вашу новую программу. Вам придётся поменять то, как она возвращает посчитанное значение.

    Гораздо лучше переписать этот пример так:

    5
    # начало куска кода, который можно копировать из программы в программу
    def factorial(n):
        res = 1
        for i in range(2, n + 1):
            res *= i
        return res
    # конец куска кода
    
    n = int(input())
    f = factorial(n)
    # дальше всякие действия с переменной f

    Если нужно, чтобы функция вернула не одно значение, а два или более, то для этого функция может вернуть список из двух или нескольких значений:

    Тогда результат вызова функции можно будет использовать во множественном присваивании:

    3. Рекурсия

    def short_story():
        print("У попа была собака, он ее любил.")
        print("Она съела кусок мяса, он ее убил,")
        print("В землю закопал и надпись написал:")
        short_story()

    Как мы видели выше, функция может вызывать другую функцию. Но функция также может вызывать и саму себя! Рассмотрим это на примере функции вычисления факториала. Хорошо известно, что 0!=1, 1!=1. А как вычислить величину n! для большого n? Если бы мы могли вычислить величину (n-1)!, то тогда мы легко вычислим n!, поскольку n!=n⋅(n-1)!. Но как вычислить (n-1)!? Если бы мы вычислили (n-2)!, то мы сможем вычисли и (n-1)!=(n-1)⋅(n-2)!. А как вычислить (n-2)!? Если бы… В конце концов, мы дойдем до величины 0!, которая равна 1. Таким образом, для вычисления факториала мы можем использовать значение факториала для меньшего числа. Это можно сделать и в программе на Питоне:

    	
    def factorial(n):
        if n == 0:
            return 1
        else:
            return n * factorial(n - 1)
    
    print(factorial(5))

    Подобный прием (вызов функцией самой себя) называется рекурсией, а сама функция называется рекурсивной.

    Рекурсивные функции являются мощным механизмом в программировании. К сожалению, они не всегда эффективны. Также часто использование рекурсии приводит к ошибкам. Наиболее распространенная из таких ошибок – бесконечная рекурсия, когда цепочка вызовов функций никогда не завершается и продолжается, пока не кончится свободная память в компьютере. Пример бесконечной рекурсии приведен в эпиграфе к этому разделу. Две наиболее распространенные причины для бесконечной рекурсии:

    1. Неправильное оформление выхода из рекурсии. Например, если мы в программе вычисления факториала забудем поставить проверку if n == 0, то factorial(0) вызовет factorial(-1), тот вызовет factorial(-2) и т. д.
    2. Рекурсивный вызов с неправильными параметрами. Например, если функция factorial(n) будет вызывать factorial(n), то также получится бесконечная цепочка.

    Поэтому при разработке рекурсивной функции необходимо прежде всего оформлять условия завершения рекурсии и думать, почему рекурсия когда-либо завершит работу.

    Ссылки на задачи доступны в меню слева. Эталонные решения теперь доступны на странице самой задачи.

    Рекурсия в Python | Кодкамп

    Введение

    Примеры

    Сумма чисел от 1 до n

    Если бы я хотел узнать сумму чисел от 1 до n, где n — натуральное число, я мог бы посчитать вручную 1 + 2 + 3 + 4 + … + (несколько часов спустя) + n. А можно просто написать цикл for:

    n = 0for i in range (1, n+1):    n += i

    Или использовать рекурсию:

    def recursion(n):    if n == 1:        return 1    return n + recursion(n - 1)

    У рекурсии есть несколько преимуществ в сравнении с первыми двумя методами. Рекурсия занимает меньше времени, чем выписывание 1 + 2 + 3 на сумму от 1 до 3. Для [рекурсии(4)] рекурсия может работать в обратную сторону:

    Вызов функций: (4 -> 4 + 3 -> 4 + 3 + 2 -> 4 + 3 + 2 + 1 -> 10)

    Принимая во внимание, что цикл [for] работает строго вперед: (1 -> 1 + 2 -> 1 + 2 + 3 -> 1 + 2 + 3 + 4 -> 10). Иногда рекурсивное решение проще, чем итеративное решение. Это очевидно при реализации обращения связанного списка.

    Как и когда происходит рекурсия

    Рекурсия появляется когда вызов функции повторно вызывает ту же функцию до завершения первоначального вызова функции. Например, рассмотрим известное математическое выражение x! (т.е. факториал). Факториал определяется для всех неотрицательных целых чисел следующим образом:

    Если число равно 0, то будет 1.

    В противном случае ответом будет то, что число умножается на факториал на единицу меньше этого числа.

    В Python наивная реализация факториала может быть определена как функция следующим образом:

    def factorial(n):
    	if n == 0:
        	return 1
        else:
        	return n * factorial(n - 1)

    Иногда функции рекурсии трудно понять, поэтому давайте рассмотрим поэтапно. Рассмотрим выражение factorial(3). Эта и все остальные вызовы функций создают новую среду. Среда представляет собой таблицу, которая сопоставляет идентификаторы (например, n, factorial, print и т.д.) с их соответствующими значениями. В любой момент времени вы можете получить доступ к текущей среде с помощью locals(). В первом вызове функции единственная локальная переменная, которая определяется n = 3 . Поэтому locals() будет показывать {"n": 3}. Так как n == 3, возвращаемое значение становится n * factorial(n - 1).

    На следующем этапе ситуация может немного запутаться. Глядя на наше новое выражение, мы уже знаем, что такое n. Однако мы еще не знаем, что такое factorial(n - 1). Во-первых, n - 1 принимает значение 2 . Затем 2 передаётся factorial как значение для n. Поскольку это новый вызов функции, создаётся вторая среда для хранения нового n. Пусть A — первое окружение, а B — второе окружение. A всё ещё существует и равен {"n": 3} , однако B (что равно {"n": 2}) является текущей средой. Если посмотреть на тело функции, возвращаемое значение, опять же, n * factorial(n - 1). Не определяя это выражение, заменим его на исходное выражение return. Делая это, мы мысленно отбрасываем B, поэтому не забудьте заменить n соответственно (т.е. ссылки на B n заменены на n - 1) который использует A n ). Теперь исходное обратное выражение становится n * ((n - 1) * factorial((n - 1) - 1)). Подумайте, почему так?

    Теперь давайте определим factorial((n - 1) - 1)). Так как A n == 3, мы пропускаем 1 через factorial. Поэтому мы создаем новую среду C, которая равна {"n": 1}. Мы снова возвращаем значение n * factorial(n - 1). Итак, заменим исходный factorial((n - 1) - 1)) выражения return аналогично тому, как раньше мы скорректировали исходное выражение return. Исходное выражение теперь n * ((n - 1) * ((n - 2) * factorial((n - 2) - 1))).

    Почти закончили. Теперь нам нужно оценить factorial((n - 2) - 1). На этот раз мы пропустим через 0. Следовательно, должно получиться 1. Теперь давайте проведём нашу последнюю замену. Исходное выражение return теперь n * ((n - 1) * ((n - 2) * 1)). Напомню, что исходное выражение возврата оценивается под A , выражение становится 3 * ((3 - 1) * ((3 - 2) * 1)). Здесь получается 6. Чтобы убедиться, что это правильный ответ, вспомните, что 3! == 3 * 2 * 1 == 6. Прежде чем читать дальше, убедитесь, что вы полностью понимаете концепцию среды и то, как они применяются к рекурсии.

    Утверждение, if n == 0: return 1, называется базовым случаем. Потому что это не рекурсия. Базовый случай необходим, без него вы столкнетесь с бесконечной рекурсией. С учетом сказанного, если у вас есть хотя бы один базовый случай, у вас может быть столько случаев, сколько вы хотите. Например, можно записать факториал  таким образом:

    def factorial(n):
    	if n == 0:
        	return 1
        elif n == 1:
        	return 1
       	else:
        	return n * factorial(n - 1)

    У вас может также быть несколько случаев рекурсии, но мы не будем вдаваться в подробности, потому что это редкий случай, и его трудно мысленно обрабатывать.

    Вы также можете иметь «параллельные» рекурсивные вызовы функций. Например, рассмотрим последовательность Фибоначчи, которая определяется следующим образом:

    • Если число равно 0, то ответ равен 0.
    • Если число равно 1, то ответ равен 1.

    В противном случае ответ представляет собой сумму двух предыдущих чисел Фибоначчи.

    Мы можем определить это следующим образом:

    def fib(n):
        if n == 0 or n == 1:
            return n
        else:
            return fib(n - 2) + fib(n - 1)
    

    Я не буду разбирать эту функцию также тщательно, как и с factorial(3), но окончательное значение возврата fib(5) эквивалентно следующему (синтаксически недействительному) выражению:

    (
      fib((n - 2) - 2)
      +
      (
        fib(((n - 2) - 1) - 2)
        +
        fib(((n - 2) - 1) - 1)
      )
    )
    +
    (
      (
        fib(((n - 1) - 2) - 2)
        +
        fib(((n - 1) - 2) - 1)
      )
      +
      (
        fib(((n - 1) - 1) - 2)
        +
        (
          fib((((n - 1) - 1) - 1) - 2)
          +
          fib((((n - 1) - 1) - 1) - 1)
        )
      )
    )

    Решением (1 + (0 + 1)) + ((0 + 1) + (1 + (0 + 1))) будет 5.

    Теперь давайте рассмотрим еще несколько терминов:

    Хвост вызова — это просто вызов рекурсивной функции, который является последней операцией и должна быть выполнена перед возвратом значения. Чтобы было понятно, return foo(n - 1) — это хвост вызова, но return foo(n - 1) + 1 не является (поскольку операция сложения будет последней операцией).

    Оптимизация хвоста вызова (TCO) — это способ автоматического сокращения рекурсии в рекурсивных функциях.

    Устранение хвоста вызова (TCE) — это сокращение хвостового вызова до выражения, которое может быть оценено без рекурсии. TCE — это тип TCO.

    Оптимизация хвоста вызова может пригодиться по нескольким причинам:

    Интерпретатор может снизить объём памяти, занятый средами. Поскольку ни у кого нет неограниченной памяти, чрезмерные рекурсивные вызовы функций приведут к переполнению стека.

    Интерпретатор может уменьшить количество переключателей кадров стека.

    В Python нет TCO по нескольким причинам, поэтому для обхода этого ограничения можно использовать другие методы. Выбор используемого метода зависит от варианта использования. Интуитивно понятно, что factorial и fib можно относительно легко преобразовать в итеративный код следующим образом:

    def factorial(n):
        product = 1
        while n > 1:
            product *= n
            n -= 1
        return product
    
    def fib(n):
        a, b = 0, 1
        while n > 0:
            a, b = b, a + b
            n -= 1
        return a

    Обычно это самый эффективный способ устранения рекурсии вручную, но для более сложных функций может быть трудно.

    Другим полезным инструментом является декодер lru_cache, который можно использовать для уменьшения количества лишних вычислений.

    Теперь вы знаете, как избежать рекурсии в Python, но когда её нужно использовать? Ответ «не часто». Все рекурсивные функции могут быть реализованы итеративно. Это просто вопрос, как именно сделать. Однако есть редкие случаи, когда можно использовать рекурсию. Рекурсия распространена в Python, когда ожидаемые вводы не вызовут значительного количества вызовов рекурсивных функций.

    Если вы интересуетесь рекурсией, стоит изучить функциональные языки, такие как Scheme или Haskell. На таких языках рекурсия намного полезней.

    Хотя приведённый выше пример последовательности Фибоначчи, хорошо показывает, как применять определение в python и позже использовать кэш lru, при этом он имеет неэффективное время работы, из-за того, что выполняет 2 рекурсивных вызова. Количество вызовов функции растет экспоненциально до n.

    В таком случае лучше использовать линейную рекурсию:

    def fib(n):
        if n <= 1:
            return (n,0)
        else:
            (a, b) = fib(n - 1)
            return (a + b, a)

    Но у этого примера есть проблема в возвращении пары чисел. Это показывает, что не всегда стоит использовать рекурсию.

    Исследование дерева с рекурсией

    Допустим, у нас есть такое дерево:

    root
    - A
      - AA
      - AB
    - B
      - BA
      - BB
        - BBA

    Если мы хотим перечислить все имена элементов, мы можем сделать это с помощью простого цикла for. У нас есть функция get_name(), которая возвращает строку с именем узла, функция get_children(), которая возвращает список всех подузлов данного узла в дереве, и функция get_root() для получить корневой узел.

    root = get_root(tree)
    for node in get_children(root):
        print(get_name(node))
        for child in get_children(node):
            print(get_name(child))
            for grand_child in get_children(child):
                print(get_name(grand_child))
    # Выводит: A, AA, AB, B, BA, BB, BBA

    Этот код работает хорошо и быстро, но что если под-узлы получили свои под-узлы? И эти под-узлы могут иметь больше под-узлов … Что если вы не знаете заранее, сколько их будет? Решением этой проблемы будет использование рекурсии.

    def list_tree_names(node):
        for child in get_children(node):
            print(get_name(child))
            list_tree_names(node=child)
    
    list_tree_names(node=get_root(tree))
    # Выводит: A, AA, AB, B, BA, BB, BBA


    Возможно, вы не хотите вывести, а вернуть список всех имён узлов. Это можно сделать с помощью передачи прокручиваемого списка в качестве параметра.

    def list_tree_names(node, lst=[]):
        for child in get_children(node):
            lst.append(get_name(child))
            list_tree_names(node=child, lst=lst)
        return lst
    
    list_tree_names(node=get_root(tree))
    # returns ['A', 'AA', 'AB', 'B', 'BA', 'BB', 'BBA']

    Увеличение максимальной глубины рекурсии

    Существует предел глубины возможной рекурсии, который зависит от реализации Python. Когда предел достигнут, возникает исключение RuntimeError:

    RuntimeError: Maximum Recursion Depth Exceeded

    Пример программы, которая может вызвать такую ошибку:

    def cursing(depth):
      try:
        cursing(depth + 1) # actually, re-cursing
      except RuntimeError as RE:
        print('I recursed {} times!'.format(depth))
    cursing(0)
    # Out: I recursed 1083 times!

    Можно изменить предел глубины рекурсии с помощью

    sys.setrecursionlimit(limit)

    Чтобы проверить текущие параметры лимита, нужно запустить:

    sys.getrecursionlimit()

    Если запустить тот же метод выше с новым пределом, мы получаем

    sys.setrecursionlimit(2000)cursing(0)# Out: I recursed 1997 times!

    В Python 3.5 ошибка стала называться RecursionError, которая является производной от RuntimeError.

    Хвостовая рекурсия — как не надо делать

    Хвостовая рекурсия — частный случай рекурсии, при котором любой рекурсивный вызов является последней операцией перед возвратом из функции.

    Вот пример обратного отсчета, написанного с использованием хвостовой рекурсии:

    def countdown(n):
        if n == 0:
            print "Blastoff!"
        else:
            print n
            countdown(n-1)


    Любое вычисление, которое может быть выполнено с использованием итерации, также может быть выполнено с использованием рекурсии. Вот версия find_max, написанная с использованием хвостовой рекурсии:

    def find_max(seq, max_so_far):
        if not seq:
            return max_so_far
        if max_so_far < seq[0]:
            return find_max(seq[1:], seq[0])
        else:
            return find_max(seq[1:], max_so_far)


    Хвостовую рекурсию лучше не использовать, поскольку компилятор Python не обрабатывает оптимизацию для хвостовых рекурсивных вызовов. В таких случаях рекурсивное решение использует больше системных ресурсов, чем итеративное.

    Оптимизация хвостовой рекурсии с помощью интроспекции стека

    По умолчанию рекурсивный стек Python не превышает 1000 кадров. Это ограничение можно изменить, установив sys.setrecursionlimit(15000) который быстрее, однако этот метод потребляет больше памяти. Вместо этого мы также можем решить проблему рекурсии хвоста, используя интроспекцию стека.

    #!/usr/bin/env python2.4
    # Эта программа показыает работу декоратора, который производит оптимизацию 
    # хвостового вызова. Он делает это, вызывая исключение, если оно является его 
    # прародителем, и перехватывает исключения, чтобы вызвать стек.
    
    import sys
    
    class TailRecurseException:
        def __init__(self, args, kwargs):
            self.args = args
            self.kwargs = kwargs
    
    def tail_call_optimized(g):
    """
     Эта программа показыает работу декоратора, который производит оптимизацию 
    # хвостового вызова. Он делает это, вызывая исключение, если оно является его 
    # прародителем, и перехватывает исключения, чтобы подделать оптимизацию хвоста
      
    Эта функция не работает, если функция декоратора
    возвращается без хвоста.
    """
          
        def func(*args, **kwargs):
            f = sys._getframe()
            if f.f_back and f.f_back.f_back and f.f_back.f_back.f_code == f.f_code:
                raise TailRecurseException(args, kwargs)
            else:
                while 1:
                    try:
                        return g(*args, **kwargs)
                    except TailRecurseException, e:
                        args = e.args
                        kwargs = e.kwargs
        func.__doc__ = g.__doc__
        return func


    Чтобы оптимизировать рекурсивные функции, мы можем использовать декоратор @tail_call_optimized для вызова нашей функции. Вот несколько примеров общей рекурсии с использованием декоратора, описанного выше:


    Факториальный пример:

    @tail_call_optimized
    def factorial(n, acc=1):
      "calculate a factorial"
      if n == 0:
        return acc
      return factorial(n-1, n*acc)
    
    print factorial(10000)
    # prints a big, big number,
    # but doesn't hit the recursion limit.
    
    Пример Фибоначчи:
    @tail_call_optimized
    def fib(i, current = 0, next = 1):
      if i == 0:
        return current
      else:
        return fib(i - 1, next, current + next)
    
    print fib(10000)
    # также выводит большое число,
    # но не доходит до лимита рекурсии

    Синтаксис

    Параметры

    Примечания

    Чтобы выйти из рекурсии, нужно ввести команду stopCondition.

    Исходная переменная должна быть передана рекурсивной функции, чтобы сохранить её.

    Краткое руководство для инженеров-программистов

    Рекурсия — один из самых фундаментальных методов решения проблем.

    Часто решить проблему с помощью рекурсии проще и проще, чем если бы вы делали это итеративно. Хороший пример использования рекурсии — это алгоритмы быстрой сортировки.

    Его можно использовать для разделения проблем на более мелкие компоненты — рекурсивный шаблон, известный как «разделяй и властвуй», который является широко используемым рекурсивным алгоритмом.Это особенно полезно для таких методов, как сортировка слиянием, двоичный поиск и поиск в глубину.

    Вы также заметите, что они особенно полезны для таких задач, как числа Фибоначчи (факториальная функция), Ханойская башня и задачи динамического программирования.

    В этой статье мы рассмотрим следующее:


    Мастер рекурсии на вашем любимом языке

    Узнайте, как использовать рекурсию, чтобы сделать ваши проекты проще и эффективнее.

    Рекурсия для собеседований по программированию на Java, C ++, Python и JavaScript.


    Что такое рекурсия?

    Рекурсия — это метод разработки программ, при котором проблема разбивается на более мелкие повторяющиеся подзадачи. Программа завершит каждую подзадачу позже, чтобы найти решение.

    Основная особенность, которая определяет рекурсию, состоит в том, что рекурсивная функция вызывает саму себя, прямо или косвенно во время выполнения. Вызов обычно происходит в конце другой операции с использованием переданных данных, практика называется хвостовой рекурсией .Это приводит к циклической структуре, которая повторяет операцию до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода.

    Каждый проход через этот цикл приближает программу к желаемому состоянию или решению, известному как базовый вариант . По достижении этого базового случая метод больше не будет возвращаться к своему рекурсивному шагу. Вместо этого программа закончится.


    Основные понятия рекурсии

    Базовый корпус

    Базовый вариант (или базовое условие) — это состояние, в котором решение программы было достигнуто.Достижимый базовый вариант важен, чтобы избежать бесконечного цикла. Рекурсивные методы создаются с двумя путями: метод сначала проверяет, достигнуто ли базовое состояние, если да, метод завершается и возвращает текущие данные, если нет, метод вместо этого переходит по другому пути и выполняет рекурсивный случай, изменяя ввод и снова вызываем метод.

    Чтобы понять это в контексте, рассмотрим гипотетический пример.

    Представьте, что базовый случай программы поиска — это когда искомое значение найдено, или значений поиска = значений ячейки .Если значения не совпадают, текущая выбранная ячейка не является решением.

    Затем метод выполняет рекурсивный шаг, выбирая другой элемент в наборе данных, и снова вызывает метод, используя эту новую ячейку в качестве входных.

    Если бы у нас не было базового случая, программа просто повторила бы рекурсивный шаг и, следовательно, бесконечно прокручивала набор данных.


    Стек вызовов

    Стек вызовов — это интегрированная скрытая структура данных во всех современных языках программирования.Сохраняя активные подпрограммы в структуре стека, программа может выполнять подпрограммы в том порядке, в котором они были получены.

    Каждый рекурсивный вызов в программе вызывает эффект вложения в стек вызовов, добавляя дополнительные подпрограммы, которые должны быть завершены до того, как стек опустеет.

    Вообще говоря, чем больше стек вызовов, тем больше памяти и времени требуется для запуска программы.


    Рекурсия хвоста

    Хвостовая рекурсия — это когда рекурсивный вызов следующего цикла является последним оператором в методе.

    Рекурсия конца хвоста считается хорошей практикой, когда это возможно, потому что за ней легче следить с точки зрения читателя, и она может быть оптимизирована современными компиляторами.

    Компиляторы могут распознать, что хвостовой метод завершил все операции в этом вызове. Поскольку вся работа завершена, программе не нужно сохранять экземпляр этого вызова, известный как кадр вызова .

    Современные компиляторы автоматически распознают это и, следовательно, выполняют устранение хвостового вызова , что исключает все завершенные методы из стека вызовов.

    Компилятор

    использует исключение хвостового вызова для упрощения выполнения программы и освобождения памяти. Программа сохраняет текущий исполняемый кадр вызова.

    Хотя сейчас мы упомянули только прямые рекурсивные вызовы, на самом деле существует три способа реализовать рекурсивный вызов — прямой, косвенный и анонимный.


    Прямая, косвенная и анонимная рекурсия

    Прямая рекурсия

    Прямая рекурсия — это когда рекурсивный метод явно вызывается по имени.Это наиболее распространенный тип рекурсии.

    Давайте посмотрим на пример:

    Рекурсия Python (рекурсивная функция)

    Что такое рекурсия?

    Рекурсия — это процесс определения чего-либо в терминах самого себя.

    Пример физического мира: два параллельных зеркала обращены друг к другу. Любой объект между ними будет отражаться рекурсивно.


    Рекурсивная функция Python

    В Python мы знаем, что функция может вызывать другие функции.Функция даже может вызывать сама себя. Эти типы конструкций называются рекурсивными функциями.

    На следующем изображении показана работа рекурсивной функции под названием recurse .

    Рекурсивная функция в Python

    Ниже приведен пример рекурсивной функции для поиска факториала целого числа.

    Факториал числа — это произведение всех целых чисел от 1 до этого числа. Например, факториал 6 (обозначается как 6!) Равен 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720 .

    Пример рекурсивной функции

      def factorial (x):
        "" "Это рекурсивная функция
        найти факториал целого числа "" "
    
        если x == 1:
            возврат 1
        еще:
            return (x * факториал (x-1))
    
    
    число = 3
    print ("Факториал", num, "is", factorial (num))  

    Выход

      Факториал 3 равен 6  

    В приведенном выше примере factorial () является рекурсивной функцией, поскольку она вызывает сама себя.

    Когда мы вызываем эту функцию с положительным целым числом, она рекурсивно вызывает себя, уменьшая число.

    Каждая функция умножает число на факториал числа под ним, пока оно не станет равным единице. Этот рекурсивный вызов можно объяснить следующими шагами.

    factorial (3) # 1-й вызов с 3
    3 * factorial (2) # 2-й вызов с 2
    3 * 2 * factorial (1) # 3-й вызов с 1
    3 * 2 * 1 # возврат после 3-го звонка как number = 1
    3 * 2 # возврат после 2-го звонка
    6 # возврат с 1-го звонка 

    Давайте посмотрим на изображение, которое показывает пошаговый процесс того, что происходит:

    Работа рекурсивной факториальной функции

    Наша рекурсия заканчивается, когда число уменьшается до 1.Это называется базовым условием.

    Каждая рекурсивная функция должна иметь базовое условие, которое останавливает рекурсию, иначе функция вызывает себя бесконечно.

    Интерпретатор Python ограничивает глубину рекурсии, чтобы избежать бесконечных рекурсий, приводящих к переполнению стека.

    По умолчанию максимальная глубина рекурсии составляет 1000 . Если предел превышен, это приводит к RecursionError . Давайте посмотрим на одно из таких условий.

      def recursor ():
        рекурсор ()
    рекурсор ()  

    Выход

      Traceback (последний звонок последний):
      Файл «<строка>», строка 3, в <модуле>
      Файл "", строка 2, в
      Файл "", строка 2, в
      Файл "", строка 2, в
      [Предыдущая строка повторяется еще 996 раз]
    RecursionError: превышена максимальная глубина рекурсии  

    Преимущества рекурсии

    1. Рекурсивные функции делают код чистым и элегантным.
    2. Сложную задачу можно разбить на более простые подзадачи с помощью рекурсии.
    3. С помощью рекурсии создать последовательность проще, чем с помощью какой-либо вложенной итерации.

    Недостатки рекурсии

    1. Иногда логику рекурсии сложно понять.
    2. Рекурсивные вызовы дороги (неэффективны), так как они занимают много памяти и времени.
    3. Рекурсивные функции сложно отлаживать.

    Введение в рекурсию, часть первая

    31 октября 2018 г.

    Обсудите эту статью на форумах

    Рекурсия — замечательный инструмент программирования.Это простой и эффективный способ решения множества проблем. Однако часто бывает трудно понять, как можно рекурсивно подойти к проблеме; может быть трудно «думать» рекурсивно. Также легко написать рекурсивную программу, которая либо запускается слишком долго, либо вообще не завершается должным образом. В этой статье мы рассмотрим основы рекурсии и, надеюсь, поможем вам развить или усовершенствовать очень важный навык программирования.

    Что такое рекурсия?

    Чтобы точно сказать, что такое рекурсия, мы сначала должны ответить: «Что такое рекурсия?» По сути, функция называется рекурсивной, если она вызывает сама себя.Ниже приведен псевдокод для рекурсивной функции, которая печатает фразу «Hello World» всего раз:

      1
    2
    3
       function HelloWorld (count) {
      if (count <1) returnprint ("Hello World!") HelloWorld (count - 1)
    }
      


    Может быть не сразу понятно, что мы здесь делаем, поэтому давайте рассмотрим, что произойдет, если мы вызовем нашу функцию с count, установленным на 10. Поскольку count не меньше 1, мы ничего не делаем в первой строке. На следующем мы печатаем «Hello World!» однажды.На этом этапе нам нужно напечатать нашу фразу еще 9 раз. Поскольку теперь у нас есть функция HelloWorld, которая может делать именно это, мы просто вызываем HelloWorld (на этот раз со значением count, равным 9), чтобы распечатать оставшиеся копии. Эта копия HelloWorld напечатает фразу один раз, а затем вызовет другую копию HelloWorld для печати оставшихся 8. Это будет продолжаться до тех пор, пока мы не вызовем HelloWorld с нулевым счетчиком. HelloWorld (0) ничего не делает; он просто возвращается. После завершения HelloWorld (0) завершается и HelloWorld (1), и он возвращается.Это продолжается вплоть до нашего первоначального вызова HelloWorld (10), выполнение которого завершается с распечаткой всего 10 «Hello World!».

    Вы можете подумать, что это не очень интересно, но эта функция демонстрирует некоторые ключевые соображения при разработке рекурсивного алгоритма:

    1. Она обрабатывает простой «базовый случай» без использования рекурсии.
      В этом примере базовым случаем является «HelloWorld (0)»; если функцию просят напечатать ноль раз, она возвращается, не порождая больше «HelloWorld».

    2. Избегает циклов.
      Представьте, что «HelloWorld (10)» называется «HelloWorld (10)», а «HelloWorld (10)». У вас получился бы бесконечный цикл вызовов, и это обычно приводило бы к ошибке «переполнения стека» во время работы. Во многих рекурсивных программах вы можете избежать циклов, если каждый вызов функции будет относиться к проблеме, которая в чем-то меньше или проще, чем исходная проблема. В этом случае, например, счет будет все меньше и меньше с каждым вызовом.По мере того, как проблема становится все проще и проще (в этом случае мы будем считать «проще» напечатать что-то ноль раз, а не 5 раз), в конечном итоге она перейдет к «базовому случаю» и перестанет повторяться. Есть много способов избежать бесконечных циклов, но уверенность в том, что мы имеем дело с постепенно уменьшающимися или более простыми проблемами, - хорошее практическое правило.

    3. Каждый вызов функции представляет собой полную обработку данной задачи.
      Иногда рекурсия может показаться волшебной, поскольку она решает большие проблемы.Однако бесплатного обеда не бывает. Когда нашей функции дается аргумент 10, мы печатаем «Hello World!» один раз и затем еще 9 раз печатаем. Мы можем передать часть задания рекурсивному вызову, но исходная функция все равно должна каким-то образом учитывать все 10 копий.

    Зачем нужна рекурсия?

    Проблема, которую мы проиллюстрировали выше, проста, и написанное нами решение работает, но нам, вероятно, было бы лучше просто использовать цикл, а не возиться с рекурсией.Рекурсия имеет тенденцию проявляться в ситуациях, когда проблема немного сложнее. Рекурсию можно применить практически к любой проблеме, но есть определенные сценарии, в которых вы найдете ее особенно полезной. В оставшейся части этой статьи мы обсудим несколько из этих сценариев, а попутно обсудим еще несколько основных идей, которые следует учитывать при использовании рекурсии.

    Сценарий № 1: Иерархии, сети или графики

    При обсуждении алгоритмов, когда мы говорим о графике, мы обычно не говорим о графике, показывающем взаимосвязь между переменными (например, ваш график рейтингов TopCoder, который показывает взаимосвязь между время и ваш рейтинг).Скорее, мы обычно говорим о сети вещей, людей или концепций, которые связаны друг с другом различными способами. Например, дорожную карту можно представить как график, показывающий города и то, как они связаны дорогами. Графы могут быть большими, сложными и неудобными для программирования. Они также очень распространены в теории алгоритмов и соревнованиях по алгоритмам. К счастью, работу с графами можно значительно упростить с помощью рекурсии. Одним из распространенных типов графика является иерархия, примером которой является организационная диаграмма бизнеса:

    Салли
    Имя Менеджер
    Бетти Сэм
    Боб
    Дилберт Натан
    Джозеф Салли
    Натан Вероника
    Салли Вероника Джозеф Вероника
    Сэм Джозеф
    Сэм
      1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
       {
      объявить счетчик переменных
      counter = 0
      для каждого человека в employeeDatabase {
        если (человек.manager == employeeName) {
          counter = counter + 1
          counter = counter + countEmployeesUnder (имя человека)
        }
      }
      счетчик возврата
    }
      


    Если это не совсем понятно, лучше всего попробовать несколько раз мысленно проследить его построчно. Помните, что каждый раз, когда вы делаете рекурсивный вызов, вы получаете новую копию всех ваших локальных переменных. Это означает, что для каждого звонка будет отдельный экземпляр счетчика. Если бы это было не так, мы бы действительно все испортили, если бы установили счетчик на ноль в начале функции.В качестве упражнения подумайте, как мы могли бы изменить функцию, чтобы вместо этого увеличивать глобальную переменную. Подсказка: если бы мы увеличивали глобальную переменную, нашей функции не нужно было бы возвращать значение.

    Заявления о миссии

    Очень важно учитывать при написании рекурсивного алгоритма четкое представление о «заявлении о миссии» нашей функции. Например, в этом случае я предположил, что человека не следует считать сообщающим самому себе. Это означает, что «countEmployeesUnder (‘ Betty ’)» вернет ноль.Таким образом, миссия нашей функции может быть такой: «Вернуть количество людей, которые прямо или косвенно отчитываются перед лицом, указанным в поле employeeName , не включая человека с именем employeeName ».

    Давайте подумаем, что нужно изменить, чтобы сделать так, чтобы человек действительно отчитывался перед самим собой. Во-первых, нам нужно сделать так, чтобы, если нет людей, которые кому-то отчитываются, мы возвращали единицу вместо нуля. Это просто - мы просто меняем строку «counter = 0 ″ на« counter = 1 ″ в начале функции.Это имеет смысл, поскольку наша функция должна возвращать значение на 1 больше, чем раньше. Вызов «countEmployeesUnder (‘ Betty ’)» теперь вернет 1.

    Однако здесь мы должны быть очень осторожными. Мы изменили формулировку миссии нашей функции, и при работе с рекурсией это означает пристальное внимание к тому, как мы рекурсивно используем вызов. Например, «countEmployeesUnder (‘ Sam ’)» теперь будет давать неправильный ответ 3. Чтобы понять, почему, проследите код: сначала мы будем считать Сэма как 1, установив counter на 1.Затем, когда мы встретим Бетти, мы будем считать ее за 1. Затем мы посчитаем сотрудников, которые подчиняются Бетти - и теперь они также вернут 1.

    Понятно, что мы ведем двойной учет Бетти; «Заявление о миссии» нашей функции больше не соответствует тому, как мы ее используем. Нам нужно избавиться от строки «counter = counter + 1 ″, осознавая, что рекурсивный вызов теперь будет считать Бетти« кем-то, кто подчиняется Бетти »(и, следовательно, нам не нужно считать ее перед рекурсивным вызовом).

    По мере того, как наши функции становятся все более и более сложными, проблемы с неоднозначными «формулировками миссии» становятся все более и более очевидными.Чтобы рекурсия работала, мы должны иметь очень четкую спецификацию того, что делает каждый вызов функции, иначе мы можем столкнуться с некоторыми очень сложными для отладки ошибками. Даже если время ограничено, часто стоит начать с написания комментария, в котором подробно описывается, что функция должна делать. Наличие четкого «заявления о миссии» означает, что мы можем быть уверены, что наши рекурсивные вызовы будут вести себя так, как мы ожидаем, и вся картина сложится правильно.

    В части 2 мы рассмотрим, как рекурсия работает с несколькими связанными решениями, такими как навигация по лабиринту, и с явными рекурсивными отношениями.

    … перейти к части 2

    Щелкните, чтобы отобразить предпочтения! Щелкните, чтобы отобразить предпочтения!

    Рекурсивное программирование. Как решить проблему, притворившись… | Том Григг

    Как решить проблему, притворившись, что у вас уже есть

    Несмотря на то, что концепция рекурсии часто вводится на раннем этапе в большинстве предприятий в программировании, концепция рекурсии может показаться странной и потенциально отталкивающей при первом знакомстве с ней. Это кажется почти парадоксальным: как мы можем найти решение проблемы, используя решение той же проблемы?

    Рекурсия может быть немного головной болью

    Для тех, кто пытается разобраться с концепцией рекурсии, я часто чувствую, что может быть полезно сначала осознать, что рекурсия - это больше, чем просто программная практика - это философия решения проблем это подходит для проблем, которые можно проработать или частично решить, оставив остальную часть проблемы в той же форме, но проще или в некотором роде меньшего размера.Это относится не только к функциям в программировании; мы можем сформулировать простые повседневные проблемы с помощью рекурсии. Например, возьмем, как я пишу этот пост: скажем, я хочу сделать его длиной около 1000 слов, если я стремлюсь писать 100 слов каждый раз, когда открываю его, тогда в первый раз я пишу 100 слов и оставляю себе 900 слов осталось написать. В следующий раз я напишу 100 слов, а осталось только 800. Я могу продолжать, пока у меня не останется 0 слов. Каждый раз я частично решаю проблему, а оставшаяся проблема уменьшается.

    Код для написания моего сообщения может выглядеть так:

     write_words (words_left): 
    , если осталось слов> 0:
    write_100_words ()
    words_left = words_left - 100
    write_words (words_left)

    Я мог бы также реализовать этот алгоритм итеративно:

     write_words (words_left): 
    while words_left> 0:
    write_100_words ()
    words_left = words_left - 100

    Если вы пройдете вызов функции write_words (1000) через любую из реализаций, вы обнаружите, что они имеют точно такое же поведение.Фактически, каждую проблему, которую мы можем решить с помощью рекурсии, мы также можем решить с помощью итераций ( для и , а также циклов). Так почему бы нам вообще использовать рекурсию?

    Я пишу этот пост рекурсивно

    Почему рекурсия?

    Хотите верьте, хотите нет, но как только мы разберемся с этим, некоторые проблемы легче решить с помощью рекурсии, чем с помощью итераций. Иногда рекурсия более эффективна, а иногда более читаема; иногда рекурсия не быстрее и не читабельнее, но быстрее реализуется.Существуют структуры данных, такие как деревья, которые хорошо подходят для рекурсивных алгоритмов. Есть даже некоторые языки программирования, в которых отсутствует концепция цикла - чисто функциональные языки, такие как Haskell, полностью зависят от рекурсии для итеративного решения проблем. Суть проста: вам не нужно понимать рекурсию, чтобы быть программистом, но вы должны понимать рекурсию, чтобы стать хорошим программистом . На самом деле, я бы даже сказал, что понимание рекурсии - это часть умения решать проблемы, не говоря уже о программировании!

    Суть рекурсии

    В общем, с помощью рекурсии мы пытаемся разбить более сложную проблему на простой шаг к решению и остаток, который является более простой версией той же проблемы.Затем мы можем повторять этот процесс, каждый раз делая один и тот же шаг к решению, пока не достигнем версии нашей проблемы с очень простым решением (называемым базовым случаем). Простое решение нашего базового случая, объединенное с шагами, которые мы предприняли для его достижения, формирует решение нашей исходной проблемы.

    Мы можем решить P, разбив проблему на шаг к решению и оставшуюся меньшую задачу той же формы, что и исходная, до тех пор, пока мы не достигнем простого решения небольшой проблемы (базовый случай).

    Предположим, нам даны некоторые реальные данные некоторого типа данных, назовем их dₒ. Идея рекурсии состоит в том, чтобы притвориться, что мы уже решили проблему или вычислили желаемую функцию f для всех форм этого типа данных, которые проще, чем dₒ, в соответствии с некоторой степенью сложности, которую нам нужно определить. Затем, если мы сможем найти способ выразить f (dₒ) в терминах одного или нескольких f (d) s, где все эти d s менее сложны (имеют меньшую степень ), чем dₒ , то мы нашли способ уменьшить и решить для f (dₒ) .Мы повторяем этот процесс и надеемся, что в какой-то момент оставшиеся f (d) s станут настолько простыми, что мы сможем легко реализовать для них фиксированное закрытое решение. Затем наше решение исходной проблемы проявится по мере того, как наши решения все более простых проблем объединяются и каскадом возвращаются наверх.

    В приведенном выше примере написания этого сообщения данные - это текст, содержащийся в этом документе, ожидающий записи, а градуса сложности - это длина документа.Это немного надуманный пример, но если предположить, что я уже решил задачу f (900) о том, как написать 900 слов, то все, что мне нужно сделать для решения f (1000) , - это написать 100 слов и затем выполните мое решение для 900 слов, f (900) .

    Лучшим примером является рассмотрение чисел Фибоначчи, где 1-е число Фибоначчи равно 0, 2-е число равно 1, а число Фибоначчи n ᵗʰ равно сумме двух предыдущих. Допустим, у нас есть функция Фибоначчи, которая сообщает нам n ᵗʰ число Фибоначчи:

     fib (n): 
    if n == 0:
    return 0
    if n == 1:
    return 1
    else:
    return fib (n-1) + fib (n-2)

    Как выглядит выполнение этой функции? Давайте попробуем fib (4) :

    Визуализация дерева рекурсии, показывающая рекурсивные вычисления, которые приводят к fib (4) = 3, обратите внимание, что вычисления выполняются в первую очередь в глубину.

    Полезная мантра для рекурсивного решения проблем: « fake it», пока вы не сделаете это », то есть представьте, что вы уже решили проблему для более простого случая, а затем попытайтесь уменьшить более крупную проблему, используя решение для этого более простого случая. Если проблема подходит для рекурсии, на самом деле должно быть только небольшое количество простых случаев, которые вам нужно явно решить, то есть этот метод сведения к более простой проблеме можно использовать для решения любого другого случая. Это проиллюстрировано в примере Фибоначчи fib , где для определения fib (n) мы просто действуем так, как будто мы уже вычислили fib (n-1) и fib (n-2) и, как мы надеялись , это каскадирует и сводит проблему к все более простым случаям, пока мы не достигнем fib (0) и fib (1) , которые имеют фиксированные и простые решения.

    Подделывайте, пока не сделаете это!

    Рекурсия имеет несколько нюансов и действительно зависит от того, какую проблему вы пытаетесь решить. Однако есть несколько общих шагов, которые мы можем придумать, которые могут более или менее вести нас в правильном направлении. Эта стратегия состоит из трех этапов:

    1. Упорядочить данные
    2. Решить маленькие дела
    3. Решить большие дела

    Как я уже говорил ранее, я думаю, что может быть полезно привести пример, когда мы узнаем , но помните, что рекурсия зависит от проблемы, поэтому постарайтесь сосредоточиться здесь на общих принципах.Мы будем использовать простой пример переворота строки, т.е. мы хотим написать функцию перевернуть так, чтобы reverse ('Hello world') = 'dlrow olleH' . Я бы порекомендовал вернуться и посмотреть, как эти шаги применимы к функции Фибоначчи, а затем попробовать их на других примерах (в Интернете есть множество упражнений).

    Упорядочите данные

    Этот шаг является ключевым для начала рекурсивного решения проблемы, но он часто игнорируется или выполняется неявно.Какие бы данные мы ни оперировали, будь то числа, строки, списки, двоичные деревья или люди, необходимо явно найти соответствующий порядок, который даст нам направление для решения проблемы. Этот порядок полностью зависит от проблемы, но для начала следует подумать об очевидном порядке: числа идут с собственным порядком, строки и списки могут быть упорядочены по их длине, двоичные деревья могут быть упорядочены по глубине, а люди могут быть упорядочены. бесконечным количеством разумных способов, например.грамм. рост, вес или звание в организации. Как упоминалось ранее, этот порядок должен соответствовать градусам сложности для проблемы, которую мы пытаемся решить.

    Закажите эти данные, ага!

    После того, как мы упорядочили наши данные, мы можем думать о них как о чем-то, что мы можем сократить. Фактически, мы можем записать наш порядок в виде последовательности:

    0 , 1 , 2 ,…, n для целых чисел (т.е. для целых данных d , градусов (d) = d )

    [], [■], [■, ■],…, [■,…, ■] для списков
    (примечание len = 0, len = 1,…, len = n i.е. для данных списка d , степень (d) = len (d) )

    Двигаясь справа налево, мы переходим к общим («большим») случаям к базовым («маленьким») случаям. В нашем примере обратный мы работаем со строкой, и мы можем выбрать длину строки в качестве порядка или градусов нашей задачи.

    Разберитесь с мелочами

    Обычно это самая простая часть. Как только у нас будет правильный порядок, нам нужно посмотреть на мельчайшие элементы в нашем порядке и решить, как мы собираемся их обрабатывать.Обычно существует очевидное решение: в случае reverse (s) , как только мы дойдем до len (s) == 0 и у нас будет reverse ('') , тогда мы знаем наш ответ, потому что пустая строка ничего не сделает, т.е. мы просто вернем пустую строку, так как у нас нет символов для перемещения. После того, как мы решили наши базовые случаи и знаем свой порядок, решение общего случая так же просто, как уменьшение проблемы таким образом, чтобы градус данных, с которыми мы работаем, переместился в сторону базовых случаев.Мы должны быть осторожны, чтобы не пропустить ни одного небольшого случая: они называются базовыми случаями потому, что они покрывают основу порядка - в более сложных задачах рекурсии обычно не хватает базового случая, поэтому что шаг сокращения перескакивает разумный конец нашего порядка и начинает работать с бессмысленными данными или приводит к ошибке.

    Решайте важные дела

    Здесь мы обрабатываем данные прямо в нашем порядке, то есть данные высокой степени. Обычно мы рассматриваем данные произвольной степени и стремимся найти способ решения проблемы, сводя ее к выражению, содержащему ту же задачу меньшей степени , т.е.грамм. в нашем примере Фибоначчи мы начали с произвольного n и уменьшили fib (n) до fib (n-1) + fib (n-2) , что является выражением, содержащим два экземпляра задачи, с которой мы начали , меньшей степени (n-1 и n-2 соответственно).

    Большой футляр?

    Когда дело доходит до reverse , мы можем рассматривать произвольную строку длиной n , и мы можем притвориться, что наша функция reverse работает со всеми строками длиной меньше n. Как мы можем использовать это, чтобы решить задачу для строки длиной n ? Что ж, мы могли бы просто перевернуть строку, содержащую все, кроме последнего символа, а затем вставить этот последний символ впереди. В коде:

     reverse (строка) = reverse (строка [-1]) + reverse (строка [: - 1]) 

    , где строка [-1] соответствует последнему символу, а строка [: - 1] соответствует строке без последнего символа (это питонизмы). Последний обратный член (строка [: - 1]) - это наша исходная проблема, но она работает со строкой длины n-1 , т.е.е. мы выразили нашу первоначальную проблему в виде шага к решению в сочетании с той же проблемой пониженной степени.

    Собирая решение для нашей функции reverse , мы получаем следующее:

     reverse (string): 
    if len (string) == 0:
    return ''
    else:
    return string [-1] + reverse (string [: - 1])
    Визуализация рекурсивной функции reverse, работающей с некоторыми выборочными данными.

    Часто существует более одного рекурсивного случая, который необходимо учитывать, поскольку данные данного типа данных могут принимать несколько разные формы, но это полностью зависит от проблемы.В качестве примера представьте, что если бы мы хотели выровнять список элементов, некоторые из которых сами могли бы быть списками, нам нужно было бы различать случаи, когда элемент, который мы извлекаем из списка, является отдельным элементом или подсписком, ведущим как минимум до двух рекурсивных случаев.

    Рубио-Санчес, Мануэль: 9781498735285: Amazon.com: Books

    Рекурсия - одна из самых фундаментальных концепций в информатике и ключевой метод программирования, позволяющий многократно выполнять вычисления.Несмотря на важность рекурсии для разработки алгоритмов, большинство книг по программированию не раскрывают эту тему подробно, несмотря на то, что многие профессора компьютерного программирования и исследователи в области образования в области информатики согласны с тем, что рекурсия трудна для начинающих студентов.

    Введение в рекурсивное программирование содержит подробное и всестороннее введение в рекурсию. Этот текст послужит полезным руководством для всех, кто хочет научиться думать и программировать рекурсивно, анализируя широкий спектр вычислительных задач различной сложности.

    Он содержит отдельные главы о наиболее распространенных типах рекурсии (линейная, хвостовая и множественная), а также о парадигмах разработки алгоритмов, в которых преобладает рекурсия (разделяй и властвуй, и отслеживание с возвратом). Следовательно, его можно использовать на вводных курсах программирования и на более продвинутых курсах по разработке алгоритмов. Книга также охватывает темы более низкого уровня, связанные с итерацией и выполнением программы, и включает богатую главу, посвященную теоретическому анализу вычислительной стоимости рекурсивных программ, предлагая читателям возможность изучить некоторые основы математики на этом пути.

    Он также включает в себя несколько элементов, призванных помочь студентам усвоить материал. Во-первых, он содержит более широкий набор простых задач, чтобы обеспечить прочную основу для основных концепций, прежде чем углубляться в более сложный материал. Кроме того, одним из основных достоинств книги является использование пошаговой методологии вместе со специально разработанными диаграммами для руководства и иллюстрации процесса разработки рекурсивных алгоритмов. Кроме того, в книге рассматриваются комбинаторные проблемы и взаимная рекурсия.Эти темы могут расширить понимание учащимися рекурсии, заставляя их применять изученные концепции по-другому или более изощренно.

    Примеры кода написаны на Python 3, но должны быть простыми для понимания студентами, имеющими опыт работы с другими языками программирования. Наконец, инструкторам доступны разработанные решения более чем 120 упражнений в конце главы.

    Определение рекурсии по Merriam-Webster

    ответный | \ ri-ˈkər-siv \ 1 : , относящиеся к рекурсии или связанные с ней рекурсивная функция в компьютерной программе

    2 : , относящиеся к процедуре, которая может повторяться бесконечно рекурсивное правило в грамматике

    информатика - что такое рекурсия и когда я должен ее использовать?

    Рассмотрим старую, хорошо известную проблему:

    В математике наибольший общий делитель (gcd)… двух или более ненулевых целых чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит числа без остатка.

    Определение gcd на удивление простое:

    , где mod - оператор по модулю (то есть остаток после целочисленного деления).

    На английском языке это определение гласит, что наибольший общий делитель любого числа и ноль - это это число, а наибольший общий делитель двух чисел m и n является наибольшим общим делителем n и остатком после деления м по н .

    Если вы хотите узнать, почему это работает, см. Статью в Википедии об алгоритме Евклида.

    Давайте в качестве примера вычислим gcd (10, 8). Каждый шаг равен предыдущему:

    1. gcd (10, 8)
    2. gcd (10, 10 mod 8)
    3. gcd (8, 2)
    4. gcd (8, 8 mod 2)
    5. gcd (2, 0)
    6. 2

    На первом этапе 8 не равно нулю, поэтому применяется вторая часть определения. 10 mod 8 = 2, потому что 8 переходит в 10 один раз с остатком 2. На шаге 3 вторая часть применяется снова, но на этот раз 8 mod 2 = 0, потому что 2 делит 8 без остатка.На шаге 5 второй аргумент равен 0, поэтому ответ равен 2.

    Вы заметили, что gcd появляется как слева, так и справа от знака равенства? Математик сказал бы, что это определение рекурсивно, потому что определяемое вами выражение повторяется внутри его определения.

    Рекурсивные определения обычно выглядят элегантно. Например, рекурсивное определение суммы списка -

    .
      сумма l =
        если пусто (л)
            возврат 0
        еще
            возврат напор (л) + сумма (хвост (л))
      

    , где заголовок - первый элемент в списке, а хвост - остальная часть списка.Обратите внимание, что сумма повторяется внутри своего определения в конце.

    Возможно, вы предпочтете максимальное значение в списке:

      макс l =
        если пусто (л)
            ошибка
        длина elsif (l) = 1
            возвратная головка (л)
        еще
            хвостмакс = макс (хвост (л))
            если голова (l)> tailmax
                возвратная головка (л)
            еще
                return tailmax
      

    Вы можете определить умножение неотрицательных целых чисел рекурсивно, чтобы превратить его в серию сложений:

      а * б =
        если b = 0
            возврат 0
        еще
            вернуть a + (a * (b - 1))
      

    Если этот бит о преобразовании умножения в серию сложений не имеет смысла, попробуйте расширить несколько простых примеров, чтобы увидеть, как это работает.

    Сортировка слиянием имеет прекрасное рекурсивное определение:

      сорт (l) =
        если пусто (l) или длина (l) = 1
            вернуть л
        еще
            (слева, справа) = разделить l
            возврат слияния (сортировка (слева), сортировка (справа))
      

    Рекурсивные определения есть повсюду, если вы знаете, что искать. Обратите внимание, что все эти определения имеют очень простые базовые случаи, например, . , gcd (m, 0) = m. Рекурсивные случаи сводят на нет проблему, чтобы перейти к простым ответам.

    С таким пониманием теперь вы можете оценить другие алгоритмы в статье Википедии о рекурсии!

    .